प्रश्नावली-2C
1. A की उम्र, B की उम्र चार गुनी है| पांच वर्ष पहले A की उम्र B की उम्र की 9 गुणी थी| कथनों के समीकरणों को लिखिए–
उत्तर:- माना कि A की उम्र X तथा B की उम्र Y है|
X=4Y
पांच वर्ष पहले उम्र=X-5=(Y-5)•9
2. दो अंकों की एक संख्या है, अंकों का योगफल 6 है| अंकों के उलट जाने से जो नयी संख्या बनती है, वह पहली संख्या की 7/4 गुनी है| यदि पहली संख्या के इकाई और दहाई के अंक क्रमशः X, Y हो तो कथन को X, Y के दो समीकरणों में व्यक्त करें—
उत्तर:-10Y+X
X+Y=6
7/4(10Y+X)=10X+Y
3. किसी भिन्न के अंश और हर में 1 जोड़ देने पर वह 4 के बराबर हो जाता है और यदि उसके अंश और हर में से 1 घटा देने पर 7 के बराबर हो जाता है| कथनों के समीकरण बनाएं—-
उत्तर:- अंश=x
हर=y
भिन्न=x/y
x+1 =4
Y+1
X-1=7
Y-1
4.2KG सेब और 1KG अंगूर की कीमत किसी दिन 160 रूपये पाया गया एक महीना बाद 4KG सेब और 2KG अंगूर का मूल्य 300 रुपये है| कथनों के समीकरण बनाएं आलेखीय प्रदर्शन भी करें—-
उत्तर:-
माना कि 1KG सेब का दाम=X
तथा 1KG अंगूर का दाम =Y
2X+Y=160 —–(1)
4X+2Y=300
=>2X+Y=150 ——-(2)
5.(i) दो संख्याओं का योगफल 50 है और यदि उनमें से एक संख्या, दूसरी संख्या की 7/3 गुनी हो तो संख्याएँ निकालें—-
उत्तर:-
माना कि पहली संख्या=x
दूसरी संख्या=y
X+y=50 —-(1)
X= 7y
3
X- 7y =0
3
3x-7y=0 ——(2)
समीकरण (1) को 7 से तथा (2) को 1 से गुणा करने पर,
7x+7y=350
3x-7y=0
10x=350
x=350/10=35
X का मान समीकरण (1) में रखने पर,
X+y=50
35+y=50
Y=50-35=15
(ii) दो संख्याओं का अंतर 4 है और योगफल 6 है तो संख्या निकालें-
उत्तर:- x-y=4 ——(1)
x+y=6 ——-(2)
2x=10
X=10/2=5
X का मान समीकरण (1) में रखने पर,
X-y=4
5-y=4
-y=4-5=-1
y=1
(iii) एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुणी है एवं उनका योगफल 16 है, संख्या निकालें-
उत्तर:- x=3y
x-3y=0 ——–(1)
x+y=16 ——-(2)
-4y=-16
y= -16/-4
y=4
put the value of y in equation (2)
x+y=16
x+4=16
x=16-4=12
6. (i) यदि किसी भिन्न के हर में 1 जोड़ने पर वह 1/2 हो जाता है और अंश में से 2 घटाने पर 1/3 हो जाता है, तो भिन्न ज्ञात करें—-
उत्तर:-
अंश=x, हर=y, भिन्न=x/y
x = 1
y+1 2
2x=y+1
2x-y=1 ——-(1)
x-2 = 1
y 3
3x-6=y
3x-y=6 ——–(2)
From equation (1) &(2)
2x-y=1
3x-y=6
-x=-5
x=5
Put the value of x in equation (1)
2x-y=1
2•5-y=1
10-y=1
-y=1-10=-9
y=9
Fraction=x/y=5/9
(ii) किसी भिन्न के अंश के साथ 1 जोड़ने पर उसका मान 1 हो जाता है, किन्तु जब अंश में से 1 घटाया जाता है और हर में 2 जोड़ा जाता है तो भिन्न 1/3 हो जाता है तो उस भिन्न को निकालें—–
उत्तर:-
अंश=x, हर=y, भिन्न=x/y
x+1 =1
y
x+1=y
x-y=-1 ——-(1)
x-1 = 1
y+2 3
3(x-1)=1(y+2)
3x-3=y+2
3x-y=2+3
3x-y=5 ——–(2)
From equation (1) &(2)
x-y=-1
3x-y=5
-2x=-6
x=-6/-2=3
Put the value of x in eq(1)
x-y=-1
3-y=-1
-y=-1-3=-4
y=4
(iii) यदि किसी भिन्न का हर उसके अंश में जोड़ कर जाए और उसका अंश हर में से घटा दिया जाए तो भिन्न 11/3 हो जाता है| वह भिन्न ज्ञात कीजिये यदि उसका अंश हर से 3 कम है?
उत्तर:-
अंश=x, हर=y, भिन्न=x/y
x+y = 11
y-x 3
3x+3y=11y-11x
3x+11x+3y-11y=0
14x-8y=0 ——(1)
x=y-3
x-y=-3 ———-(2)
Equation (1)•1 & (2)•8
14x-8y=0
8x-8y=-24
6x=24
x=24/6=4
Put the value of x in equation (2)
x-y=-3
4-y=-3
-y=-3-4=-7
y=7
(iv) किसी भिन्न के अंश और हर में 2 जोड़ने पर वह 9/11 हो जाता है| यदि हर और अंश दोनों में 3 जोड़ दिया जाता है तो वह 5/6 हो जाता है तो भिन्न ज्ञात करैं—–
उत्तर:-
x+2 = 9
y+2 11
11x+22=9y+18
11x-9y=18-22
11x-9y=-4 ———(1)
x+3 = 5
y+3 6
6x+18=5y+15
6x-5y=15-18=-3
6x-5y=-3 ———-(2)
Eq(1)•6 & (2)•11
66x-54y=-24
66x-55y=-33
-y=-9
y=9
Put the value of y in eq(1)
11x-9y=-4
11x-9•9=-4
11x-81=-4
11x=-4+81=77
x=77/11=7
(V) वह भिन्न निकाले जिसके अंश में 1 जोड़ने पर और हर में 1 घटाने पर भिन्न हो जाता है| जबकि केवल हर में 1 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाता है|
उत्तर:-
x+1 = 1
y-1 1
x+1=y-1
x-y=-1-1=-2
x-y=-2 ——-(1)
x = 1
y+1 2
2x=y+1
2x-y=1 ——–(2)
Eq(1) &(2)
x-y=-2
2x-y=1
-x=-3
x=3
Put the value of x in eq(1)
x-y=-2
3-y=-2
-y=-2-3=-5
y=5
(vi) किसी भिन्न के अंश में 1 घटाने पर वह 1/3 हो जाता है और हर में 8 जोड़ने पर वह 1/4 हो जाता है| भिन्न ज्ञात करें—
उत्तर:-
x-1 = 1
y 3
3x-3=y
3x-y=3 ——–(1)
x = 1
y+8 4
4x=y+8
4x-y=8 ———(2)
Eq(1) &(2)
3x-y=3
4x-y=8
-x=-5
x=5
Put the value of x in (1)
3x-y=3
3•5-y=3
15-y=3
-y=3-15=-12
y=12
7. (i) दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योगफल 15 है| अंकों के स्थान बदलने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से 9 अधिक है| संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:-
इकाई=x, दहाई=y
Number=10y+x
x+y=15 ——-(1)
10y+x+9=10x+y
10y-y+x-10x=-9
9y-9x=-9
9x-9y=9
x-y=1 (divided by 9) —–(2)
Eq(1) &(2)
X+y=15
X-y=1
2x=16
x=16/2=8
Put the value of x in eq(1)
x+y=15
8+y=15
y=15-8=7
Number=10y+x=10•7+8=70+8=78
(ii) 10 और 100 के बीच की कोई संख्या है| वह अपने अंकों के योग की आठ गुनी है| यदि उस संख्या में से 45 घटा दिया जाए तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं| बताएं वह संख्या क्या है?
उत्तर:-
इकाई=x, दहाई=y
संख्या=10y+x
10y+x=(x+y)8
10y+x=8x+8y
10y+x-8x-8y=0
-7x+2y=0 ——-(1)
10y+x-45-10x-y=0
-9x+9y=45 ——-(2)
Eq (1)•9 & (2)•2
-63x+18y=0
-18x+18y=90
-45x=-90
x=-90/-45=2
x=2
Put the value of x in eq(2)
-9x+9y=45
-9•2+9y=45
-18+9y=45
9y=45+18=63
y=63/9=7
Number=10y+x=10•7+2=70+2=72
(iii) दो अंकों की संख्या, अंकों के योग की चार गुनी है| संख्या में 18 जोड़ने पर संख्या के अंकों के स्थान पलट जाते हैं, तो वह संख्या निकालें-
उत्तर:-
इकाई=x, दहाई=y
Number=10y+x
10y+x=(x+y)•4
10y+x=4x+4y
10y+x-4x-4y=0
6y-3x=0 ——(1)
10y+x+18=10x+y
10y+x+18-10x-y=0
9y-9x=-18 ——-(2)
Eq (1)•3 & (2)•1
18y-9x=0
9y-9x=-18
9y=18
y=18/9=2
Put the value of y in eq(1)
6y-3x=0
6•2-3x=0
12-3x=0
3x=12
x=12/3=4
Number=10y+x=10•2+4=20+4=24
(iv) दो अंकों की एक संख्या है| इन दोनों अंकों का योगफल 9 है| अंकों के स्थान पलटने पर प्राप्त संख्या और प्रदत्त संख्या का अनुपात 3:8 है, तो प्रदत्त संख्या क्या है?
उत्तर:-
इकाई=x, दहाई=y
Number=10y+x
x+y=9 ——(1)
10y+x = 3
10x+y 8
8(10y+x)=3(10x+y)
80y+8x=30x+3y
80y+8x-30x-3y=0
77y-22x=0 ————(2)
From eq(1)•22 &(2)•1
22x+22y=198
77y-22x=0
99y=198
y=198/99=2
Put the value of y in eq(1)
x+y=9
x+2=9
x=9-2=7
Number=10x+y=10•7+2=70+2=72
(V) दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योगफल 9 है| फिर उस संख्या का नौ गुना अंकों के क्रम के पलटने से बनी संख्या को दो गुना है| संख्या ज्ञात करें-
उत्तर:- इकाई x, दहाई y, संख्या=10y+x
x+y=9 ——(1)
(10y+x)•9=(10x+y)•2
90y+9x=20x+2y
90y+9x-20x-2y=0
-11x+88y=0
-x+8y=0 ——–(2)
From eq(1) &(2)
x+y=9
-x+8y=0
9y=9
y=1
Number=10y+x=10•1+8=10+8=18
(Vi) दो अंकों वाली संख्या तथा उन अंकों को पलटने से प्राप्त संख्या का योग 99 है| यदि वांछित संख्या में 5 जोड़ दिया जाए और प्राप्त संख्या वांछित संख्या के अंकों के जोड़ के छ: गुने से 4 कम है| वांछित संख्या ज्ञात करें—–
उत्तर:-
इकाई x, दहाई y, संख्या-10y+x
10y+x+10x+y=99
11x+11y=99
x+y=9 ——–(1)
x+10y+5=6(x+y)-4
x+10y+5=6x+6y-4
x+10y-6x-6y=-4-5
-5x+4y=-9 ——–(2)
From eq (1)•5&(2)
5x+5y=45
-5x+4y=-9
9y=36
y=36/9=4
Put the value of y in eq (1)
x+y=9
x+4=9
x=9-4=5
Number=10y+x=10•4+5=45
(Vii) दो अंकों वाली संख्या के अंकों को पलटने से जो संख्या प्राप्त होती है वह और मूल संख्या का योग 66 है| अंकों का अंतर 2 है| वह संख्या बताइए-
उत्तर:-
इकाई x, दहाई y, संख्या 10y+x
10y+x+10x+y=66
11x+11y=66 ——(1)
x-y=2 ———(2)
From eq (1) &(2)•11
11x+11y=66
11x-11y=22
22x=88
x=88/22=4
Put the value of x in eq(2)
x-y=2
4-y=2
y=4-2=2
Number=10y+x=10•2+4=20+4=24
(Viii) 100 से कम किंतु 10 से अधिक किसी संख्या के अंकों का अन्तर 3 है| यदि संख्या को 7 से गुणा किया जाए तो वह अंकों के क्रम बदलने पर प्राप्त संख्या के चार गुने के बराबर होती है इस संख्या को निकालें—-
उत्तर:-
इकाई x, दहाई y संख्या 10y+x
x-y=3 ——-(1)
7(10y+x)=(10x+y)•4
70y+7x=40x+4y
70y+7x-40x-4y=0
66y-33x=0
6y-3x=0 ———(2)
From eq (1)•3&(2)
3x-3y=9
6y-3x=0
3y=9
y=9/3=3
Put the value of y in eq (1)
x-y=3
x-3=3
X=3+3=6
Number=10y+x=10•3+6=30+6=36
8.(i) यदि दो अंकों की एक संख्या में उनके अंकों को जोड़ से भाग दिया जाए तो योगफल 7 और शेष 3 होता है| यदि अंकों को उलट दिया जाए तो भागफल 3 और भाग शेष 7 हो जाता है| संख्या निकालें—–
उत्तर:-
इकाई=x, दहाई=y संख्या=10y+x
भाज्य=भाजक×भागफल+शेष
10y+x=(x+y)×7+3
10y+x=7x+7y+3
10y+x-7x-7y=3
3y-6x=3
y-2x=1 ———(1)
10x+y=(x+y)×3+7
10x+y=3x+3y+7
10x+y-3x-3y=7
7x-2y=7 ———-(2)
From eq (1)×2&(2)
2y-4x=2
7x-2y=7
3x=9
x=9/3=3
Put the value of x in eq (1)
y-2x=1
y-2×3=1
y-6=1
y=6+1=7
Number=10y+x=10×7+3=70+3=73
(ii) एक दो अंकों वाली संख्या, अंकों के योगफल के आठ गुने से अधिक है और फिर अंकों के अंतर के 13 गुने से अधिक है| तो संख्या निकालें—-
उत्तर:-
इकाई=x, दहाई=y
10y+x=(x+y)8+1
10y+x=8x+8y+1
10y+x-8x-8y=1
2y-7x=1 ——(1)
10y+x=(y-x)13+2
10y+x=13y-13x+2
10y+x-13y+13x=2
-3y+14x=2 ——-(2)
From eq (1)•&(2)•2
6y-21x=3
-6y+28x=4
7x=7
x=7/7=1
Put the value of x in eq (1)
2y-7x=1
2y-7•1=1
2y-7=1
2y=1+7=8
y=8/2=4
Number=10y+x=10•4+1=40+1=41
(iii) दो अंकों वाली कोई संख्या और अंकों के योग का अनुपात अंकों के क्रम उलटने पर प्राप्त संख्या और अंकों के योग के अनुपात से अधिक है| यदि अंक का अंतर (घटाव) 1 हो तो संख्या निकालें—-
उत्तर:- इकाई=x, दहाई=y, संख्या=10y+x
10y+x = 10x+y + 1
x+y x+y
10y+x – 10x+y =1
x+y x+y
10y+x-10x-y =1
x+y
9y-9x =1
x+y
9y-9x=x+y
9y-9x-x-y=0
8y-10x=0 ——–(1)
y-x=1 ———(2)
From eq (1)&(2)×8
8y-10x=0
8y-8x=8
-2x=-8
x=-8/-2=4
Put the value of x in eq (2)
y-x=1
y-4=1
y=1+4=5
Number=10y+x=10×5+4=50+4=54
9.(i) पांच वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की सात गुनी थी और पांच वर्ष बाद तीन गुनी हो जाएगी| पिता और पुत्र की वर्तमान आयु निकाले-
उत्तर:-
माना कि पिता की वर्तमान आयु =x
पुत्र की वर्तमान आयु=y
पांच वर्ष पहले पिता की आयु=x-5
पांच वर्ष पहले पुत्र की आयु=you
(x-5)=(y-5)7
x-5=7y-35
x-7y=-30 ——–(1)
पांच वर्ष बाद पिता की आयु=x+5
पांच वर्ष बाद पुत्र की आयु=y+5
x+5=(y+5)3
x+5=3y+15
x-3y=10 ———(2)
From eq (1) &(2)
x-7y=-30
x-3y=10
-4y=-40
y=-40/-4=10
Put the value of y in eq(1)
x-7y=-30
x-7×10=-30
x-70=-30
x=-30+70=40
(ii) पिता और पुत्र के वर्तमान आयु का अनुपात 3:1 है तथा 14 वर्ष बाद यह अनुपात 2:1 हो जाता है| उनकी वर्तमान आयु क्या है?
उत्तर:-
इकाई x, दहाई y
x =3:1
y
x = 3
y 1
x=3y
x-3y=0 ———-(1)
14 वर्ष बाद पिता की आयु=x+14
14 वर्ष बाद पुत्र की आयु=y+14
x+14 = 2
y+14 1
x+14=2y+28
x-2y=28-14=14
x-2y=14 ——(2)
From eq (1) &(2)
x-3y=0
x-2y=14
-y=-14
y=14
Put the value of y in eq (1)
x-3y=0
x-3×14=0
x-42=0
x=42
(iii) पिता और पुत्र की उम्र का योगफल 80 साल है और पुत्र की उम्र की दोगुना पिता की उम्र से 10 साल अधिक है तो दोनों की उम्र निकालें—-
उत्तर:-
माना कि पिता की वर्तमान उम्र=x
पुत्र की वर्तमान आयु=y
x+y=80 ———-(1)
x+10=2y
x-2y=-10 ———–(2)
From eq (1) &(2)
x+y=80
x-2y=-10
3y=90
y=90/3=30
Put the value of in eq (1)
x+y=80
x+30=80
x=80-30=50
(iv) राम के पिता की आयु राम की आयु की चार गुनी है| पांच वर्ष पहले पिता की आयु उस समय राम की आयु की 9 गुनी थी उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिये—–
उत्तर:-
x=4y
x-4y=0 ——(1)
5 वर्ष पहले राम के पिता की आयु=x-5
5 वर्ष पहले राम की आयु=y-5
x-5=9(y-5)
x-5=9y-45
x-9y=-45+5=-40
x-9y=-40 ———(2)
From eq (1) &(2)
x-4y=0
x-9y=-40
5y=40
y=40/5=8
Put the value of y in eq(1)
x-4y0
x-4×8=0
x-32=0
x=32
10. 10 विद्यार्थी एक कार्यक्रम में भाग लेते हैं| इनमें लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है| कार्यक्रम में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या की संख्या आलेखीय विधि से हल करें–
उत्तर:-
माना कि लड़कों की संख्या=x
लड़कियों की संख्या=x+4
प्रश्न से, x+x+4=10
2x+4=10
2x=10-4=6
x=6/2=3
x+4=4+3=7
11. एक पेंसिल और कलम का मूल्य 6 रुपये है| फिर तीन पेंसिल और पांच कलमों का मूल्य, दो पेंसिलों और एक कलम के मूल्य के चार गुणा है तो प्रत्येक पेंसिल तथा प्रत्येक कलम का मूल्य निकाले-
उत्तर:-
x+y=6 ——-(1)
3y+5x=(2y+x)×4
3y+5x=8y+4x
3y+5x-8y-4x=0
-5y+x=0 ——–(2)
From eq (1) &(2)
x+y=6
-5y+x=0
6y=6
y=1
Put the value of y in eq (1)
x+y=6
x+1=6
x=6-1=5
12. दो कक्षाओं A तथा B में कुछ विद्यार्थी बैठे है, यदि कक्षा A से विद्यार्थी, कक्षा B में भेज दिए जाते हैं तो दोनों कक्षाओं विद्यार्थियों की संख्या समान हो जाती है| यदि कक्षा B से विद्यार्थी, कक्षा A में भेज दिए जाते तो A कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या कक्षा B में बच्चे विद्यार्थियों की संख्या की दोगूनी हो जाती है| दोनों कक्षाओं में अलग अलग विद्यार्थियों की मूल संख्या ज्ञात करें—–
उत्तर:-
x-5=y+5
x-y=5+5=10 ———(1)
x+5=(y-5)×2
x+5=2y-10
x-2y=-10-5=-15
x-2y=-15 ———(2)
From eq (1) &(2)
x-y=10
x-2y=-15
y=25
Put the value of y in eq (1)
x-y=10
x-25=10
x=10+25=35
13. (i) x और y दो संख्याएँ इस प्रकार है कि दूसरे का तीन गुना पहले के पांच गुणों से 30 अधिक है| किसी त्रिभुज ABC में पाया गया कि <A=x° , <B=3x° और <C=y° तो सिद्ध करें कि ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है|
उत्तर:-
3y=5x+30
3y-5x=30 ——-(1)
∆ABC, <A + <B + <C=180°
x°+3x°+y°=180
4x+y=180 ————(2)
From eq (1)&(2)×3
3y-5x=30
13x+3y=540
-17x=-510
x=-510/-17=30
Put the value of x in eq (1)
3y-5x=30
3y-5×30=30
3y-150=30
3y=30+150=180
y=180/3=60
<A=x°=30
<B=3x°=3×30=90
<C=y°=60°
(ii) किसी समबाहु ∆ की तीन भुजाएँ (से०मी०) में इस प्रकार पायी गयी—- 2x-3y+1, x+y-1, 3x-y-9 त्रिभुज की परिमित निकालें—-
उत्तर:-
2x-3y+1=x+y-1
2x-3y-x-y=-1-1
x-4y=-2 —————(1)
2x-3y+1=3x-y-9
2x-3y-3x+y+9=-9-1
-x-2y=-10 ———-(2)
From eq (1) &(2)
x-4y=-2
-x-2y=-10
-6y=-12
y=-12/-6=2
y=2
Put the value of y in eq (1)
x-4y=-2
x-4×2=-2
x-8=-2
x=-2+8=6
∆ की भुजाएँ =2x-3y+1
2×6-3×2+1=7
परिमित=7+7+7=21
(iii) यदि ∆ABC में <A=4, <C=2(<B+<C) तो ∆ के प्रत्येक कोण ज्ञात करें—–
उत्तर:-
<C=x°
<A=4x°
<A=2(<B+<C)
4x°=2<B+2<C
4x°=2<B+2x°
4x°-2x°=2<B
2x°=2<B
<B=2x°/2=x°
∆ के तीनों कोणों का योग=180°
<A+<B+<C=180°
4x°+x°+x°=180°
6x°=180°
x°=180°/6=30°
<A=30°×4=120°
<B=30°
<C=30°
(iv) किसी ∆PQR में, <R, <Q से 9 अधिक है और <P=a°, <Q=(3a-2)° और <R=b° तो त्रिभुज के तीनों कोण निकाले——
उत्तर:-
<R=<Q+9
<P=a°
<R=3(3a-2)°+9
<PQR, <P+<Q+<R=180°
a°+(3a-2)°+3a-2°+9°=180°
7a+5=180
7a=180-5=175
a=175/7=25
<P+a°=25
<Q=(3a-2°)=3×25-2=75-2=73
<R=(3a=2°)+9
=3×25-2+9=75-2+9=73+9=82°
(v) ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें <A=x+y++10, <B=(y+20°), <C=(x+y-30°) तथा <D=(x+y°), तो x और y ज्ञात कीजिये|
उत्तर:-
चूंकि चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है|
माना कि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है|
<A+<C=180°
<B+<D=180
x+y+10+x+y-30=180
2x+2y-20=180
2x+2y=180+20=200
x+y=100 ———-(1)
y+20+x+y=180
x+2y=180-20=160
x+2y=160 ———-(2)
From eq (1) &(2)
x+y=100
x+2y=160
-y=-60
y=60
Put the value of y in eq (1)
x+y=100
x+60=100
x=100-60=40
14.(i) किसी आयत की लंबाई 3 सेमी और चौड़ाई 2 सेमी बढाने पर उसका क्षेत्रफल 67 वर्ग समी
बढ जाता है| लेकिन लंबाई 5 सेमी घट जाए और चौड़ाई 3 सेमी बढ़ जाए तो क्षेत्रफल 9 वर्ग सेमी घट जाता तो आयत का क्षेत्रफल निकाले——
उत्तर:-
माना कि आयत की लंबाई x सेमी और चौड़ाई y सेमी है|
आयत का क्षेत्रफल=x×y
(x+3)×(y+2)=xy+67
xy+2x+3y+6-xy-67=0
2x+3y=61 ——–(1)
(x-5)×(y+3)=xy-9
xy+3x-5y-15=xy-9
3x-5y=6 ———(2)
From eq (1)×5&(2)×3
10x+15y=305
9x-15y=18
19x=323
x=323/19=17
Put the value of x in eq (1)
2x+3y=61
2×17+3y=61
34+3y=61
3y=61-34=27
y=27/3=9
आयत का क्षेत्रफल=17×9=153
(ii) यदि किसी आयत की लंबाई 1 सेमी घटाए जाए और चौड़ाई 2 सेमी बढ़ाई जाए तो वह वर्ग बन जाता है|यदि आयत की परिमिति 34 सेमी हो तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें——
उत्तर:-
माना कि आयत की लंबाई=l
और चौड़ाई=b
l=b+2+1 ———-(1)
आयत की परिमिति=2(लंबाई+चौड़ाई)
34=2(l+b)
34=2(b+3+b)
34=2(2b+3)
34=4b+6
34-6=4b
4b=28
b=28/4=7
Put the value of b in (1)
l=b+2+1
l=7+2+1=10
(iii) किसी समकोण त्रिभुज की छोटी दो भुजाएँ का योगफल 15 सेमी है| यदि इनमें से छोटी भुजा को 1 सेमी बढ़ा दिया जाए और बड़ी को 1 सेमी घटा दिया जाए तो ∆ का क्षेत्रफल 4 वर्ग सेमी बढ़ जाता है तो समकोण∆ के समकोण बनाने वाली भुजा को निकाले——-
उत्तर:-
भुजाएँ x & y
x>y
x+y=15 ——–(1)
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=1/2× आधार× ऊँचाई
1/2×y×x=1/2yx
1/2(y+1)(x-1)=1/2xy+4
1/2(y+1)(x-1)= xy + 4
2
1/2(y+1)(x-1)= xy+8
2
1/2(yx-y+x-1)=xy+8
2
1 (yx-y+x-1) = 1 (xy+8)
2 2
yx-y+x-1=xy+8
x-y=8+1=9 ———–(2)
From eq (1) &(2)
x+y=15
x-y=9
2x=24
x=24/2=12
Put the value of x in eq (1)
x+y=15
12+y=15
y=15-12=3
(iv) एक आयताकार कमरे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 मी अधिक है| यदि उसकी लम्बाई को 3 मी बढ़ाने पर चौड़ाई को 2 मीटर घटाने पर उसके क्षेत्रफल में कोई अंतर नहीं पड़ता है तो कमरे की लंबाई और चौड़ाई निकाले——-
उत्तर:-
माना कि कमरे की लंबाई x और चौड़ाई y है|
कमरे का क्षेत्रफल=लंबाई×चौड़ाई= x×y
x=y+3
x-y=3 ———-(1)
(x+3)×(y-2)=xy
xy-2x+3y-6=xy
-2x+3y=6 ———(2)
From eq (1)×3&(2)
3x-3y=9
-2x+3y=6
x=15
Put the value of x in eq (1)
x-y=3
15-y=3
y=15-3=12
(v) एक आयताकार बगीचे, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, की अर्धपरिमिति 36 मीटर| बगीचे की लंबाई, चौड़ाई निकाले——
उत्तर:-
माना कि आयताकार बगीचे की चौड़ाई=x
लंबाई=x+y —–(1)
अर्द्धपरिमिति=36 मीटर
2(x+4+x) = 36
2 1
2x+4=36
2x=36-4=32
x=32/2=16
Put the value of x in eq (1)
x+4=16+4=20
15. (i) एक ही स्थान से दो व्यक्ति गाड़ी से एक ही दिशा में चलने पर 3 घंटे में 7 किलोमीटर की दूरी पर रहते हैं, जबकि विपरीत दिशाओं में चलने 300 किलोमीटर की दूरी पर हो जाते हैं तो उनकी गाड़ियों के चाल निकाले-
उत्तर:-
—->x•k•m/h
——>y•k•m/h
xk•m/h ——->
<———-yk•m/h
माना कि गाड़ियों की चाल x और y km/h है
x>y
पहली गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=स०× चाल=3×X=3x
दूसरी गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=स०× चाल=y×3=3y
प्रश्न से,
3x-3y=7 ———(1)
पुनः पहली गाड़ी द्वारा 3 घंटे में तय की गई दूरी=3×x=3x
और दूसरी गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=3×y=3y
3x+3y=300 ——–(2)
From eq (1) &(2)
3x-3y=7
3x+3y=300
6x=307
x=307/6=51 1
6
Put the value of x in eq(1)
3x-3y=7
3× 307 -3y=7
6
921 -3y=7
6
921-18y = 7
6
921-18y=42
-18y=42-921=-879
y=879/18=293/6= 48 5
6
(Iii) A और B दो स्थान है जिनके बीच की दूरी 6 किलोमीटर है| एक समय उन स्थानों से दो व्यक्ति एक दूसरे की ओर दौड़ना शुरू करते हैं और 45 मिनट में एक दूसरे से मिलते हैं| यदि वे एक दिशा में चलते तो 6 घंटे में मिलते| उनकी चाल निकाले-
उत्तर:-
xkm/h ——> <———ykm/g
A B
6km
माना कि A से चलने वाले व्यक्ति की चाल xkm/h और B से चलने वाले व्यक्ति की चाल ykm है|
पहली स्थिति में A से चलने वाले व्यक्ति द्वारा 45 मिनट में तय की गई दूरी=समय× चाल
3 × X (45 minutes=45/60) =3x/4
4
B से चलने वाले व्यक्ति द्वारा 45 मिनट में तय की गई दूरी
3 × y= 3y
4 4
प्रश्न से,
3x + 3y =6
4 4
3x+3y=24
x+y=8 ———(1)
दूसरी स्थिति में A से चलने वाले
व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी=समय× चाल=6×X
B से चलने वाले व्यक्ति द्वारा 6 घंटे में तय की गई दूरी= समय× चाल=6×y=6y
6x-6y=6
x-y=1 ——–(2)
From eq (1) &(2)
x+y=8
x-y=1
2x=9
x=9/2=4.5
Put the value of x in eq (1)
x+y=8
4.5+y=8
y=8-4.5=3.5
16. (i) एक नाविक अनुप्रवाह में 8 किलोमीटर 40 में जाता है और 1 घंटे में लौट जाता है तो शांत जल में नाविक की चाल और प्रवाह की चाल ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि शांत जल में नाविक की चाल=xkm/h
प्रवाह की चाल=ykm/h
40 मिनट =40/60=2/3 घंटा
अनुप्रवाह में 8 किलोमीटर जाने में लगा समय= दूरी
चाल
2 = 8
3 x+y
2x+2y=24
x+y=12 ———-(1)
पुनः उर्ध्व प्रवाह में 8 किलोमीटर लौटने में लगा समय=
दूरी
चाल
1= 8
x-y
x-y=8 ———-(2)
From eq (1) &(2)
x+y=12
x-y=8
2x=20
x=20/2=10
Put the value of x in eq (1)
x+y=12
10+y=12
y=12-10=2
(ii) एक नाव 10 घंटे में उर्ध्व प्रवाह में 30 किलोमीटर तथा अनुप्रवाह में 44 किलोमीटर जाती है| वह 13 घंटे में 40 किलोमीटर उर्ध्व प्रवाह में तथा 55 किलोमीटर अनुप्रवाह में जा सकती है| शांत जल में नाव तथा धारा की चाल ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना कि शांत जल में नाव की चाल= x किमी/घंटा तथा धारा की चाल y किमी/घंटा है|
पहली स्थिति में, समय= दूरी
चाल
दूसरी स्थिति में 44 किमी जाने में लगा समय= दूरी
चाल
55 + 40 = 13
x+y x-y
44 + 30 =10
x+y x-y
1 =P 1 =Q
x+y x-y
55P+40Q=13 ———–(1)
44P+30Q=10 ————(2)
From eq (1)×30&(2)×40
1650P+1200Q=390
1760P+1200Q=400
-110P=-10
P= -10 = 1
-110 11
Put the value of P in eq (1)
55P+40Q=13
55× 1 +40Q=13
11
5+40Q=13
40Q=13-5=8
Q= 8 = 1
40 5
P और Q का मान वापस लेने पर,
x+y=11
x-y=5
2x=16
x=16/2=8
x का मान इस समीकरण में देने पर,
x+y=11
8+y=11
y=11-8=3
17. दो व्यक्तियों के आय का अनुपात 9:7 है एवं उनके व्यय के अनुपात 4:3 है| यदि उनमें से प्रत्येक 2000 रूपये प्रतिमाह बचा पाता है तो उनकी मासिक आय ज्ञात करें-
उत्तर:-
माना आय 9x तथा 7x
व्यय 4y तथा 3y
A/q,
9x-4y=2000 —(1)
7x-3y=2000 —-(2)
From eq (1)×3&(2)×4
27x-12y=6000
28x-12y=8000
-x=-2000
x=2000
Put the value of x in eq (1)
9x-4y=2000
9×2000-4y=2000
18000-4y=2000
-4y=2000-18000
-4y=-16000
y=-16000/-4=4000
आय=9×2000=18000
7×2000=14000
18. एक व्यक्ति 370 किलोमीटर की यात्रा को अंशतः रेल एवं अंशतः कार द्वारा तय करता है| यदि वह 250 किलोमीटर रेल से तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करे तो यात्रा में 4 घंटे लगते हैं| यदि वह 130 किलोमीटर रेल से तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करे तो उस यात्रा में 18 मिनट अधिक समय लगता है| रेल तथा कार की औसत गतियाँ ज्ञात करें-
उत्तर:-
250 + 120 =4
x y
130 + 240 =4.3
x y
1 =P 1 =Q
x y
250P+120Q=4 ——-(1)
130P+240Q=4.3 ——–(2)
FROM EQ(1)×2-(2)
500P+240Q=8
130P+240Q=4.3
370P=3.7
P= 3.7 = 1
370 100
P का मान समी (1) में देने पर,
250P+120Q=4
250× 1 +120Q=4
100
25 +120Q=4
10
25 + 1200Q =4
10
25+1200Q=40
1200Q=40-25=15
Q= 15 = 1
1200 80
P और Q का मान वापस लेने पर,
1 = 1
P 100
P=100
1 = 1
Q 80
Q=80
18 मिनट में = 18 =0.3 घंटा
60
रेल की चाल=80×2=160 किलोमीटर/घंटा
कार की चाल=80 किलोमीटर/घंटा
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