Bharti Bhawan Class-10 Math Arithmetic Progressions Solution Exercise-4A

                          प्रश्नावली-4A

1. जांचकर बताइये कि निम्नलिखित में कौन कौन समांतर श्रेणी में है| यदि समांतर श्रेणी में है तो उसके आगे के तीन पद निकालें—-

(i)2,4,8,16,20……….

Answer:- 

D=a2-a1=4-2=2

  =a3-a2=8-4=4

Not in AP

(ii) -10, -6, -2, 2…….

Answer:-

D=-6-(-10)=-6+10=4

     -2-(-6)=-2+6=4

a+4d=-10+4×4=-10+16=6

a+5d=-10+5×4=-10+20=10

a+6d=-10+6×4=-10+24=14

(iii)  (1)2, (5)2, (7)2, 73……

Answer:-

D=25-1=24

   =49-25=24

a+4d=1+4×24=1+96=97

a+5d=1+5×24=1+120=121

a+6d=1+6×24=1+144=145

(iv) 0.2,0.22,0.222,0.2222,……..

Answer:-

D=0.22-0.2=0.02

    0.222-0.22=0.002

Not in AP

(v) √3, √6, √9, √12……… 

Answer:-

D=√6-√3

   =√9-√6

Not in ap

(vi) 51,59,67,75……….

Answer:-

D=59-51=8

     67-59=8

a+4d=51+4×8=51+32=83

a+5d=51+5×8=51+40=91

a+6d=51+6×8=51+48=99

2. (i) यदि x+2, 3x और 4x+1 समांतर श्रेणी में हो तो x का मान बताएं— 

Answer:-

a2-a1=a3-a2

3x-(x+2)=(4x+1)-3x

3x-x-2=4x+1-3x

2x-2=x+1

2x-x=1+2

        x=3

(ii) किसी समांतर श्रेणी के तीन क्रमागत पद क्रमशः  2x+3, 5x+1, 6x+3 है तो x का मान अभिकलित कीजिये–

Answer:-

a2-a1=a3-a2

5x+1-(2x+3)=6x+3-(5x+1) 

5x+1-2x-3=6x+3-5x-1

3x-2=x+2

3x-x=2+2=4

2x=4

x=4/2=2

(iii) यदि   4    ,a, 2 किसी समांतर श्रेणी के 

                5

 तीन क्रमागत पद क्रमशः 2x+3, 5x+1, 6x+3 है तो x का मान अभिकलित कीजिये-

उत्तर:-

a –   4   =2-a

       5

  5a-4   =2-a

    5

5a-4=10-5a

10a=14

a=14/10=7/5

3. (i) यदि a, 2b और c समांतर श्रेणी में हो तो सिद्ध करें कि 4(4b2-ac)=(a-c)2

Ans:-

2b-a=c-2b

2b+2b=c+a

4b=c+a

b=    c+a   

          4

Squaring on both sides

b2= (  c+a  )2

             4

b2=    c2+2ca+ a2    

                   16

16b2=c2+2ca+a2

16b2-4ac= c2+a2+2ca-4ca

4(4b2-ac)=c2+a2-2ac

4(4b2-ac)=(c-a)2      Proved

(ii) यदि 7,2,  a, b समांतर श्रेणी में हो तो a और b का मान ज्ञात करें- 

उत्तर:-

a2-a1=a3-a2=a4-a3

2-7=a-2=b-a

2-7=a-2                  a-2=b-a

-5=a-2                   -3-2=b-(-3) 

a=-5+2                    -5=b+3

a=-3                          b=-5-3=-8

(iii) यदि  a, b, c समांतर श्रेणी में हो तो साबित करें कि— a+k, b+k, c+k समांतर श्रेणी में होंगे|

उत्तर:-

a, b, c

b-a=c-b

 

a+k, b+k, c+k

b+k-(a+k)=c+k-(b+k) 

b+k-a-k=c+k-b-k

b-a=c-b

AP me hai… 

(iv) p, q, r समांतर श्रेणी में हो तो सिद्ध करें कि tp+a, tq+a, tr+a समांतर श्रेणी में है|

उत्तर:-

p, q, r

q-p=r-q

tp+a, tq+a, tr+a

tq+a-(tp+a)=tr+a-(tq+a) 

tq+a-tp-a= tr+a-tq-a

tq-tp= tr-tq

t(q-p) = t(r-q) 

q-p=r-q Proved

4.(i) किसी अनुक्रम का n वां पद 4n-2 है| क्या अनुक्रम समांतर श्रेणी में है? यदि है तो इसका आठवाँ पद निकाले——

Answer:-

n=1, 2,3,4

n=1, 4×1-2=4-2=2

n=2, 4×2-2=8-2=6

n=3, 4×3-2=12-2=10

n=4, 4×4-2=16-2=14

D=6-2=4

a+7d=2+7×4=2+28=30

(ii) किसी अनुक्रम का r वां पर 2r+3 है| क्या यह समांतर श्रेणी में एक? यदि हो तो उसका सातवा पद ज्ञात करें-

उत्तर:-

r=1, 2,3,4

n=1, 2×1+3=2+3=5

n=2, 2×2+3=7

n=3, 2×3+3=6+3=9

n=4, 2×4+3=8+3=11

D=7-5=2

a+6d=5+6×2=5+12=17

5.(i) श्रेणी -40, -15, 10,35……. का 10 वां पद ज्ञात करें-

उत्तर:- a=-40,   n=10

D=a2-a1=-15-(-40)=-15+40=25

An=a+(n-1)d

     =-40+(10-1)×25=-40+9×25

     =-40+225=185

(ii) उस समांतर श्रेणी का 12 वां पद ज्ञात करें जिसका प्रथम पद -20 और सार्व अंतर 4 है|

Answer:- n=12, d=4, a=-20

An=a+(n-1)d

-20+(12-1)×4

-20+11×4=-20+44=24

(iii) जांच कि क्या -150 समांतर श्रेणी 11,8,5,2…… का एक पद है|

उत्तर:- an=-150, a=11, d=8-11=-3 

An=a+(n-1)d

-150=11+(n-1)(-3) 

-150=11-3n+3

-150=14-3n

-150-14=-3n

-164=-3n

n=-164/-3=164/3

6.(i) किसी समांतर श्रेणी का पहला पद 7 सार्व अंतर 2 तथा अंतिम पद 55 है, तो पदों की संख्या को अभिकलित कीजिये-

Ans. a=7, d=2, an=55

An=a+(n-1)d

55=7+(n-1)2

55=7+2n-2

55=5+2n

55-5=2n

50=2n

n=50/2=25

(ii)50 पदों की किसी समांतर श्रेणी में अंतिम पद 101 सार्व अंतर 2 है तो पहला पद ज्ञात करें-

Answer:- n=50, an=101, d=2

An=a+(n-1)d

101=a+(50-1)×2

101=a+49×2

101=a+98

a=101-98=3

(iii)51 पदों की किसी समांतर श्रेणी में अंतिम पद 254 तथा पहला पद 4 है तो पदांतर निकाले-

Answer:-

a=4, an=254, n=51

An=a+(n-1)d

254=4+(51-1)d

254=4+50d

254-4=50d

250=50d

d=250/50=5

(iv) किसी समांतर श्रेणी का 17 वां पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है| तो पदांतर ज्ञात करें-

Answer:-

a17=a10+7

a+(17-1)d=a+(10-1)d+7

a+16d=a+9d+7

a+16d-a-9d=7

7d=7

d=7/7=1

7. (i) समांतर श्रेणी 3,8,13……253 का अंत से 20 वां पद ज्ञात करें-

Answer:-

AP: 3, 8,13………….243,248,253

a=253, d=248-253=-5, n=20

An=a+(n-1)d

      253+(20-1)×(-5)

       253+19×(-5) 

     253-95=158

(ii) समांतर श्रेणी 13,17,21…..89 का अंत से 7 वां पद ज्ञात करें-

Answer:-

AP: 13,17,21……..81,85,89

a=89, d=85-89=-4, n=7

An=a+(n-1)d

     89+(7-1)×(-4) 

     89+6×(-4) 

      89-24=65

(iii) समांतर श्रेणी 8,13,18…..128 में पदों की संख्या बताएं एवं श्रेणी का मध्य पद निकाले-

Answer:- a=8, d=13-8=5, an=128

An=a+(n-1)d

128=8+(n-1)5

128=8+5n-5

128=3+5n

128-3=5n

125=5n

n=125/5=25

मध्य पद n=25,   n+1   =25+1 =26

                            2           2       2

n=13

An=a+(n-1)d=8+(13-1)5=8+12×5

8+60=68

8.(i) किसी समांतर श्रेणी का 5 वां पद 11 तथा 9 वां पद 7 है तो 16 वां पद निकालिए—

Answer:-

An=a+(n-1)d

a5=a+(5-1)d

11=a+4d     ——–(1) 

a9=a+(9-1)d

7=a+8d      ———-(2) 

From eq (1) & (2) 

a+8d=7

a+4d=11   

     4d=-4

d=-4/4=-1

Put the value of d in eq (1) 

11=a+4d

11=a+4×(-1) 

11=a-4

a=11+4=15    n=16

an=15+(16-1)×(-1) 

an=15+15×(-1)=15-15=0

(ii)किसी समांतर श्रेणी का 8 वां पद -23 तथा 12 वां पद -39 है तो श्रेणी लिखिये-

Answer:-

An=a+(n-1)d

a8=a+(8-1)d

-23=a+7d   ——-(1) 

a12=a+(12-1)d

-39=a+11d    ——-(2) 

From eq (1) &(2) 

a+7d=-23

a+11d=-39   

    -4d=16

d=16/-4=-4

Put the value of d in eq (1) 

-23=a+7d

-23=a+7×(-4) 

-23=a-28

a=28-23=5

a+d=5-4=1

a+2d=5+2×(-4)=5-8=-3

a+3d=5+3×(-4)=5-12=-7

(iii) यदि समांतर श्रेणी का p वां पद q तथा q वां पद p है तो उसका (p+q) वां पद ज्ञात करें-

Answer:-

An=a+(n-1)d

q=a+(p-1)d

q=a+pd-d     ———(1) 

An=a+(n-1)d

p=a+(q-1)d

p=a+qd-d     ———(2) 

From eq (1) &  (2) 

q-p=a+pd-d -a -qd +d

q-p=pd-qd

q-p= -d(q-p) 

1=-d

d=-1      

Put the value of d in eq (1) 

q=a+pd-d

q=a+p×(-1)-(-1) 

q=a-p+1

a=q+p-1

An= a + (n-1)d

q+p-1 + (p+q -1)×(-1) 

q+p-1 -p -q + 1=0

(iv) किसी समांतर श्रेणी का चौथा पद पहले पद का तीन गुणा है, और सातवाँ पद तीसरे पद के दुगुने से 1 अधिक है तो श्रेणी का निर्माण करें-

Answer:-

An=a+(n-1)d

a1=a+(1-1)d

a1=a+0=a   

a4=a+(4-1)d

3a=a+3d

3a-a=3d

2a=3d

a= 3d        ———-(1) 

      2

 a3=a+(3-1)d

a3=a+2d

a7=a+(7-1)d

a7=a+6d    ————(2) 

(a+2d)×2+1=a+6d

2a+4d+1=a+6d

2a-a+1=6d-4d

a+1=2d

  3d   + 1 =2d         (a=3d/2) 

   2

  3d +  2   =2d

      2

3d+2=4d

4d-3d=2

d=2       

Put the value of d in eq (1) 

a=   3d   =3×2 =   6    =3

        2         2        2

a+d=3+2=5

a+2d=3+2×2=3+4=7

a+3d=3+3×2=3+6=9

a+4d=3+4×2=3+8=11

9. (i) समांतर श्रेणी 21,42,63,84 का कौन सा पद 420 है? 

उत्तर:-

a=21, d=42-21=21, an=420

An=a+(n-1)d

420=21+(n-1)21

420=21+21n-21

21n=420

n=420/21=20

(ii) समांतर श्रेणी 3,10,17…. का कौन सा पद उसके 13 वें पद से 84 अधिक है? 

उत्तर:-

a=3, d=10-3=7, n=13

An=a+(n-1)d

An=3+(n-1)×7          ——–(1)

An=3+(13-1)×7+84

     =3+12×7+84

     =3+84+84=171   ——-(2) 

From eq (1) &(2) 

3+(n-1)×7=171

3+7n-7=171

7n-4=171

7n=171+4=175

n=175/7=25

n=25

(iii) समांतर श्रेणी 3,15,27,39…… का कौन सा पद श्रेणी के 21 वें पद से 120 अधिक है|

उत्तर:-

a=3, d=15-3=12, n=21

An=a+(n-1)d

An=3+(n-1)×12      ——(1) 

An=3+(21-1)×12+120

     =3+20×12+120

     =3+240+120=363  ——(2) 

From eq (1) &(2) 

3+(n-1)×12=363

3+12n-12=363

12n-9=363

12n=363+9=372  

n=372/12=31

10. n के किस मान के लिए समांतर श्रेणी 63,65,67……और 3,10,17…… के n वें पद समान होंगे|

उत्तर:- 

63,65,67……………

a=63, d=65-63=2

An=a+(n-1)d

    =63+(n-1)×2

    =63+2n-2

    =61+2n   ———-(1) 

3,10,17……………

a=3, d=10-3=7 

An=a+(n-1)d

     =3+(n-1)×7

     =3+7n-7

     =7n-4     ———(2) 

From eq (1) &(2) 

61+2n=7n-4

5n=61+4=65

n=65/5=13

n=13

11. 4 के कितने गुणज 10 और 250 के बीच पड़ते हैं? 

उत्तर:-

4 के गुणज 10 और 250:-

12,16,20,24…………..248

a=13, d=16-12=4, an=248

An=a+(n-1)d

248=12+(n-1)×4

248=12+4n-4

248=8+4n

4n=248-8=240

n=240/4=60

12. किसी समांतर श्रेणी के p वें, q वें तथा r वें पद क्रमशः a, b और c हो, तो सिद्ध करें कि

             a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0

Answer:-

समांतर श्रेणी का पहला पद x

पदांतर d

An=a+(n-1)d

   a=x+(p-1)d   —-(1)  For p

   b=x+ (q-1)d  —–(2)  For q

   c=x+  (r-1)d   ——(3) For r    

समीकरण (1) में  (q-r), (2) में (r-p) तथा (3) में (p-q) से गुणा करके जोड़ने पर हम पाते हैं कि——-

a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=x•{(q-r)+(r-p)+(p-q)}+d{(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}

=x×0+d×0=0

So, a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0 Proved

13. (I) समांतर श्रेणी में तीन संख्याओं का योग 30 है और उनका गुणनफल 750 है| संख्याओं को प्राप्त करें-

उत्तर:-

तीन संख्याएँ–a-b, a, a+b

a-b+a+a+b=30

3a=30,    a=30/3=10

(a-b)×a×(a+b)=750

(10-b)×10×(10+b)=750

10(100-b2)=750

100-b2=75

-b2=75-100=-25

b2=25

b=√25=5

a-b=10-5=5

a=10

a+b=10+5=15

(ii) समांतर श्रेणी के तीन पदों का योगफल 21 एवं प्रथम और तृतीय पदों का गुणनफल द्वितीय पद से 6 अधिक है| तो तीनों पद निकाले-

उत्तर:-

तीन संख्याएँ— a-b, a, a+b

a-b+a+a+b=21

3a=21,    a=21/3=7

(a-b)×(a+b)=a+6

(7-b)×(7+b)=7+6

49-b2=13

-b2=13-49=-36

b=√36=6

a-b=7-6=1

a=7

a+b=7+6=13

14.(i) समांतर श्रेणी में चार पूर्ण संख्याओं का योगफल 24 है और उनका गुणनफल 945 है| संख्याएँ निकालें-

उत्तर:-

चार संख्याएँ–a-3b, a-b, a+b, a+3b

a-3b+a-b+a+b+a+3b=24

4a=24,   a=24/4=6

(a-3b)×(a-b)×(a+b)×(a+3b)=945

(6-3b)×(6-b)(6+b)(6+3b)=945

1296-36b2-324b2+964=945

1296-360b2+9b4=945

9b4-360b2+1296-945=0

9b4-360b2+351=0

 Let   b2=p

9p2-360p+351=0

9p2-351p-9p+351=0

9p(p-39)-9(p-39)=0

(p-39)(9p-9)=0

p-39=0               9p-9=0

p=39                  9p=9,    p=1

b2=p                               b2=1

b2=39                             b=√1

b=√39(not possible)     b=1

a-3b=6-3×1=6-3=3

 a-b=6-1=5

a+b=6+1=7

a+3b=6+3×1=6+3=9

(ii) समांतर श्रेणी की चार लगातार संख्याएँ ज्ञात करें जिनका योगफल 50 है तथा उनमें महत्तम लघुतम का चार गुना है|

उत्तर:-

चार संख्याएँ–a-3b, a-b, a+b, a+3b

a-3b+a-b+a+b+a+3b=50

4a=50,   a=50/4=25/2

a+3b=4×(a-3b)

a+3b=4a-12b

4a-a=3b+12b

3a=15b

  a=5b

25/2=5b      (a=25/2) 

b=5/2

a-3b= 25  –  3×5  =   25-15  =  10  =5

            2        2             2            2

a-b= 25  –  5  =   25-5   =   20   =10

         2       2          2            2

a+b= 25  +  5  =  25+5  =  30  =15

           2       2         2           2 

a+3b= 25  +  3×5 = 25 + 15 = 40 =20

             2         2            2           2

15. 360 रुपये को तीन लड़कों में इस प्रकार बांटे कि सर्वाधिक पानेवाले को 200 रुपये और प्राप्त राशियाँ समांतर श्रेणी में हो|

उत्तर:-

तीन राशियाँ=a-b, a, a+b

a-b+a+a+b=360

3a=360,   a=360/3=120

     a+b=200            a=120

120+b=200          a-b=120-80

b=200-120=80          =40

A:P: 40,120,200………..

16. किसी त्रिभुज की परिमिति 24 सेमी है| यदि भुजाओं की लंबाई समांतर श्रेणी में हो एवं सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा से 6 सेमी अधिक हो तो त्रिभुज के प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करें-

उत्तर:- 

तीन लंबाई = a-b, a, a+b

a-b+a+a+b=24

3a=24,   a=24/3=8

a+b=a-b+6

2b=6  ,     b=6/2=3

a-b=8-3=5

a=7

a+b=8+3=11

17. किसी  चतुर्भुज के कोण समांतर श्रेणी में है यदि इसका सबसे छोटा कोण 60 है| तो चतुर्भुज के सबसे बड़े कोण का मान ज्ञान ज्ञात करें-

Ans:-

चतुर्भुज के कोण=a-3b, a-b, a+b, a+3b

a-3b+a-b+a+b+a+3b=360

4a=360,   a=360/4=90

a-3b=60                     

90-3b=60

-3b=60-90=-30

b=-30/-3=10

a+3b=90+3×10=90+30=120°

18. कोई बच्चा किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रुपये बचाता है, उसके बाद वह साप्ताहिक बचत 1.75 रुपये बढ़ाता है|  बताइये कि किस सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचय बचत 20.75 रुपये हो जाएगा|

Answer:-

An=20.75, a=5, d=1.75, n=? 

An=a+(n-1)d

20.75=5+(n-1)×1.75

20.75=5+1.75n-1.75

20.75-5+1.75=1.75n

17.5=1.75n

n=17.5/1.75=10

19. एक व्यक्ति वर्ष 1995 में किसी नौकरी में 5000 रुपये प्रतिवर्ष वेतन पर लगा| प्रत्येक वर्ष वेतन में 200 की वार्षिक वृद्धि होती थी| किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रुपये हुआ था|

Answer:-

An=7000, a=5000, d=200, n=? 

An=a+(n-1)d

7000=5000+(n-1)×200

7000=5000+200n-200

7000-5000+200=200n

2200=200n

n=2200/200=11

20. निम्नलिखित में संख्याओं के माध्य निकाले-

(i) 7,19                      (ii) -3, 15

Ans:-                           Ans:-

माध्य= a+b                 माध्य= a+b 

            2                                2

       = 7+19                    =-3+15          

             2                               2

       =  26                      =  12   

            2                             2

       =13                         =6

(iii)   1   ,   1              (iv)1.72, 2.71

         3       8

Ans:-                             Ans:-

 माध्य=  a+b                माध्य= a+b 

              2                               2

      1   +    1               = 1.72+2.71 

=    3         8                          2

            2                     =   443   

     8+3                               2

=    24                         =2.215

       2

=   11  

     48