NCERT/Bihar Board Class-10 Arithmetic Progression Solution Exercise-5.4

                  प्रश्नावली-5.4(ऐच्छिक) 

1. A.P.: 121,117,113……… का कौन सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा? 

[संकेत:an<0 के लिए n ज्ञात कीजिए]

उत्तर:—-

a=121     d=117-121=-4     

an=a+(n-1)d

     =121+(n-1)×(-4) 

     =121-4n+4=125-4n

125-4n=0

4n=125

n=  125    =31   1  

        4                4   

32 वां पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा|   

2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है| इस A.P. के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए|

Answer:—-

यदि हम यहाँ AP:a,a+d,a+2d,a+3d……लेते हैं, तो हमें कठिन समीकरणों को हल करना होगा| ऐसी स्थिति में क्रिया को सरल करने के लिए हम मान लेते हैं कि

AP:a-4d,a-3d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a+3d

है|विशेष कर तब जब पदों के योग दिए गए हों| 

a3=a-2d

a7=a+2d

a3+a7=a-2d+a+2d=6

2a=6     a=6/2=3

a3×a7=8

(a-2d)×(a+2d)=8

a2-4d2=8

(3)2-4d2=8

-4d2=8-9=-1

d2=  -1    =>     d=+-  1   

         4                       2

n=16    d=1/2

sn=  n  [2×(a-9d)+(16-1)d]

         2 

sn=  16  [2×(3-4×  1  )+15×  1   ]

         2                    2              2

=8(2+  15   ) =8×  19   =76

              2               2

n=16         d=-1/2

sn=  n  [2×(a-4d)+(n-1)d]

        2

    =  16   [(3+4×  1  )+(16-1)×( -1  ]

          2                 2                     2

    =8[2×5-  15  ]=8×  5  =20

                    2

3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25cm की दूरी पर है (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 127 पर देखिए आकृति 5.7) | डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25cm| यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2   1  m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की 

     2

कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी? 

[संकेत:डंडों की संख्या=250/25 है|]

Answer:—-

 2   1   =  5  m=2.5m=250cm

      2        2

n=  250   =10

       25

sn=  n  (a+an)

         2

     =  10   (25+45)=5×70=350

          2

4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है| दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है| x का मान ज्ञात कीजिए|

[संकेत:Sx-1=S49-Sx है]

Answer:—-

a=1    d=1    n=49

sn=  n  [2a+(n-1)d]

        2

   =  49  [2×1+(49-1)×1]

        2

   =  49  (2+48)=  49  ×25

        2

sn-1=  x-1  [2×1+(x-1)×1]

             2

       =  x-1   [2+x-2]=  x-1  ×x=  x2-2   

             2                     2               2

sx=  x  [2×1+(x-1)×1]

        2

    =  x  [2+x-1]=  x  (x+1)=  x2+x  

        2                  2                  2

sx-1  + sx=s49

    x2-x    +   x2+x   =49×25

      2                2

x2=49×25

x=+-(7×5)=+-35

5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई है| इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है और वह ठोस कंक्रीट(concrete) की बनी है| प्रत्येक सीढ़ी में 1/4m की चढ़ाई है और 1/2m का फैलाव (चौड़ाई) है| (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 128 पर देखिए आकृति 5.8)| इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए|

[संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन=  1  ×  1   =50m3 है]

                4      2

उत्तर:—-

एक सीढ़ी की चढ़ाई =1/4

एक सीढ़ी का फैलाव (चौड़ाई ,tread)=1/2m

प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई 50m

सीढ़ियों की कुल संख्या x=15

अत: एक (पहली) सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन=  1   ×   1   ×50

               4        2

दूसरी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

= 1 ×2× 1 ×50

   4        2

तीसरी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

=  1   ×3×   1   ×50

    4             2

चौथी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन

=  1   ×4×   1   ×50

    4            2

और इस प्रकार आगे भी|

इन आयतनों से बनी श्रेढ़ी

=  50   , 2×  50   , 3×  50  

     8             8             8

इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का

 कुल आयतन

=  50  +2×  50  +3×  50  +4× 50  

     8             8             8           8

  50   (1+2+3+4+….. +15) 

   8

  50  ×  15  (2×1+(15-1)×1) 

   8         2

  50   ×  15   ×(2+14)=  50  × 15  ×16

   8         2                       8        2

=50×15=750