NCERT/Bihar Board Class-10 Trigonometry Solution Exercise-9.1

                        प्रश्नावली-9.1

1. सर्कस का एक कलाकार एक 20m लंबी डोरी पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी हुई है| यदि भूमि स्तर के साथ डोरी द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखें पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 225 की आकृति 9.11)|

उत्तर:—

समकोण ∆ABC में,   AC=20m, 30°

sin30°=   AB   

                AC

=   1    =   AB   

     2         20

AB=20/2=10m

2. आंधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है| पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8m है| पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

समकोण ∆ABC में,   DC=8m, 30°

tan30°=   BC    =   BC  

                DC          8

   1    =  BC                   BC=8/√3

  √3        8       

समकोण ∆BCD में, DC=8m, 30°

sin30°=  BC  =  8/√3  

               BD       BD

  1   =  8/√3        BD=  16  

  2          BD                  √3

पेड़ की ऊँचाई=  8  +  16   =  24  =8√3

                      √3     √3       √3

3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलन पट्टी लगाना चाहता है| 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह ऐसी फिसलन पट्टी लगाना चाहता है जिसका शिखर 1.5 मी की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मी की ऊँचाई पर एक अधिक ढ़ाल की फिसलन पट्टी लगाना चाहता है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है| प्रत्येक स्थिति में फिसलन पट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए? 

उत्तर:—

5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए 

समकोण ∆ABC में, AB=1.5 , 30°

sin30°=  AB  

               AC

  1   =  1.5   

  2        AC

AC=2×1.5=3m

5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए 

समकोण ∆DEF में,   DE=3 ,  60°

sin60°=   DE   

                DF

   √3   =   3    

    2        DF

DF=   3×2   =2√3

           √3

4.. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मी की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है| मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

समकोण ∆ABC में, AB=30m  ,  30°

tan30°=   BC  

                AB

   1   =   BC    

  √3       30

BC=  30  ×  √3  =  30√3  =10√3

         √3      √3         3

5. भूमि से 60 मी की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है| पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है| भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है| यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

समकोण ∆ABC में,   BC=60  , 60°

sin60°=  BC  

               AC

  √3   =  60   

   2        AC

AC=   60×2   × √3  =120√3/3=40√3

             √3       √3

6. 1.5m लंबा एक लड़का 30 मी ऊंचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है| जब वह ऊंचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आंख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है| बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है|

उत्तर:—

AB=लड़के की लंबाई

EC=30 मी ऊंचा भवन

DE=30-1.5=28.5m

समकोण त्रिभुज FDE में, 

tan60°=  DE  

               DF

√3=   28.5    

            DF

DF=   28.5×√3  =9.5√3   —-(1) 

            √3×√3

समकोण त्रिभुज ADE में, 

tan30°=  DE   

                AD

   1    =    28.5   

   √3         AD

AD=28.5√3

AF=28.5√3-9.5√3=19√3

7. भूमि के एक बिंदु से एक ऊंचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है| मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan45°=  BC  

                AB

1=   20               AB=20m  ——(1) 

       AB

समकोण त्रिभुज ABD में, 

tan60°=  BD  

               AB

√3=       BD  

              20

BD=20√3    ——(2) 

CD=20√3-20=20(√3-1)m

8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मी ऊंची मूर्ति लगी है| भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है| पेडस्टल की ऊंचाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर::—-

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan45°=  BC   

               AB

1=   BC              AB=BC  —-(1) 

       AB

समकोण त्रिभुज ABD में, 

tan60°=  BD   

               AB

√3=   BD         AB=    BD      —-(2) 

          AB                   √3

समी (1) और (2) से, 

BC=  BC +CD   =  BC+1.6  

             √3               √3

BC√3=BC+1.6

BC√3-BC=1.6

BC(√3-1)=1.6

BC=   1.6     × √3+1 =0.8(√3+1)

         √3+1      √3+1

9. एक मीनार के पाद बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है| यदि मीनार 50 मी ऊंची हो, तो भवन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan30°=   AB   

                BC

   1    =   AB   

  √3       BC

BC=√3AB    —–(1) 

समकोण त्रिभुज BCD में, 

tan60°=   CD     

                BC

√3=   50    

          BC

BC=50/√3    —–(2) 

समी (1) और (2) से, 

√3AB=   50    

              √3

3AB=50      AB=50/3    AB=16    2  

                                                      3

10. एक 80 मी चौड़ी सड़क सड़क के दोनों ओर आमने सामने समाने लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं| इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है| खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

PC=X      BP=80-X   

समकोण त्रिभुज ABP में, 

tan30°=  AB  

               BP

  1  =    AB     

 √3      80-x

AB=   80-x          ——-(1) 

           √3

समकोण त्रिभुज PCD में, 

tan60°=   CD   

                PC

√3=   CD    

           x

CD=√3x       ——–(2) 

समी (1) और (2) से, 

   80-x    =√3x

    √3

80-x=3x

80=4x              x=80/4=20

x का मान समी (1) में देने पर

CD=√3×20=20√3m

11. एक नहर के तट पर एक टीवी टावर ऊर्ध्वाधरत: खड़ा है| टावर के ठीक सामने दूसरे तट के अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है| इसी तट पर इस बिंदु से 20 मी दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है| (देखिए पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 226 पर की आकृति 9.12)| टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan60°=  AB    

               BC

√3=  AB  

         BC

AB=√3BC     ——-(1) 

समकोण त्रिभुज ABD में, 

tan30°=   AB    

                BD

   1   =   AB    

  √3       BD

AB=   BD     =  20+BC     —-(2) 

          √3             √3

समी (1) और (2) से, 

√3BC=  20+BC   

                 √3

3BC=20+BC    

3BC-BC=20

2BC=20        BC=20/2=10m

       AB=√3BC=√3×10=10√3m

12. एक 7 मी ऊंचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है| टावर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan45°=   AB   

                 BC

1=   AB                  BC=AB=7m —-(1) 

       BC     

समकोण त्रिभुज AED में, 

tan60°=   DE   

                AE

      √3=   DE   

               AE

√3=   DE                DE=7√3   —-(2) 

         BC

समी (1) और (2) से, 

CD=7√3+7=7(√3+1)m

13. समुद्र तल से 75 मी ऊंची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° है| यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज़ दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

 समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan45°=   AB   

                BC

1=  AB            AB=BC=75m  —-(1) 

      BC

समकोण त्रिभुज ABD में, 

tan30°=   AB    

                BD

  1   =   75         BD=75√3  —-(2) 

 √3      BD

समी (1) और (2) से, 

CD=75√3-75=75(√3-1)m

14. 1.2m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 मी की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है| किसी भी क्षण लड़की की आंख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है| कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है(देखिए पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 226 की आकृति 9.13) | इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

 समकोण त्रिभुज ABE में, 

tan60°=  BE   

               AB

√3=  87   

        AB

AB=   87   ×  √3   =29√3    —–(1) 

         √3        √3

समकोण त्रिभुज ACD में, 

tan30°=  CD   

               AC

   1    =   87   

  √3       AC

AC=87√3      ——-(2) 

समी (1) और (2) से, 

BC=87√3-29√3=58√3

15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है| मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाती है| छह सेंकेंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया| इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tan30°=   AB    

                BC

  1   =   AB   

  √3      BC

BC=√3AB    ——(1) 

समकोण त्रिभुज ABD में, 

tan60°=  AB   

               BD

√3=  AB   

         BD

BD=   AB        ——(2) 

          √3  

CD=BC-BD=√3AB-  AB   = 2AB   —(3) 

                                 √3        √3

CD अर्थात  2AB  दूरी तय करने में लगा समय

                  √3

=6 minutes

BDअर्थात AB दूरी तय करने में लगा समय

               √3 

=  6√3   ×  AB   =3 minutes

    2AB      √3

16. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा 4 मी और 9 मी की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण है| सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मी है|

उत्तर:—

समकोण त्रिभुज ABC में, 

tanA=  AB   

            BC

tanA=   AB       ——(1) 

               9

समकोण त्रिभुज ABD में, 

tan(90°-A)=   AB  

                       BD

cotA=  AB          ———-(2) 

              4

समी (1)×(2) से, 

tanA×cotA=  AB   ×   AB    

                        4           9         

   1=     AB2     

              36

AB2=36                     AB=6m