Bharti Bhawan Class-10 Math Co-ordinate Geometry Solution Exercise-1A

           

             

                         प्रश्नावली-1A

1. बिंदु (15, 8) की दूरी मूल बिंदु से ज्ञात करें-

उत्तर:-  √x2+y2=

      √(15)2+(8)2=√225+64=√289=17

2. यदि O(0,0) मूल बिंदु हो और P के निर्देशांक (-3, 4) हों तो OP ज्ञात करें-

उत्तर=√x2+y2=√(-3)2+(4)2=√9+16=√25=5

3. सिद्ध कीजिये कि बिंदु (acosA, asinA) की दूरी मूल बिंदु से सर्वदा एक ही रहती है, चाहे A का मान कुछ भी हो|

उत्तर:-

x=acosA,  y=asinA

OP=√(acosA)2+(asinA)2

=√a2cos2A+a2sin2A=√a2(sin2A+cos2A) 

=√a2=a

4. (i) बिंदुओं (-1, 3) तथा (-5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें-

उत्तर:-

√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√(-1-(-5)2+(3-7)2

√(-1+5)+(-4)2=√(4)2+(-4)2=√16+16

=√32=4√2

(ii) बिंदुओं A(5, -8) और B(-7, -3) के बीच की दूरी ज्ञात करें-

उत्तर:- √(x1-x2)2+(y1-y2)2

=√(5+7)2+(-8+3)2

=√(12)2+(-5)2=√144+25=√169=13

5. (i) सिद्ध कीजिये कि बिंदुओं (acosA, 0) तथा (0, asinA) की दूरी सदैव a इकाइयाँ होती है, चाहे A का मान ज्ञात करें-

उत्तर:-

√(x1-x2)2+(y1-y2)2

=√(acosA-0)2+(0-asinA)2

=√a2cos2A+a2sin2A

=√a2(cos2A+sin2A) =√a2=a

(ii) यदि बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (2, -2), (8, 4), (5, 7) और (-1, 1) हो तो सिद्ध करें कि 

(A)AB=CD

AB=√(2-8)2+(-2-4)2

=√(-6)2+(-6)2

=√36+36=√72=6√2

CD=√(5-(-1)2+(7-1)2

=√(5+1)2+(6)2

=√(6)2+(6)2=√36+36=√72=6√2

(B)AB=CD

AD=√(2-(-1)2+(-2-1)2

=√(3)2+(-3)2=√9+9=√18=3√2

BC=√(8-5)2+(4-7)2

√(3)2+(-3)2=√9+9=√18=3√2

(C)AD=BC

AC=√(2-5)2+(-2-7)2=√(-3)2+(-9)2

=√9+81=√90=3√10

BD=√(8-(-1)2+(4-1)2

=√(8+1)2+(3)2=√(9)2+(3)2=√81+9

=√90=3√10

6. (i) यदि बिंदुओं (a, 5) और (3, 3) के बीच की दूरी 8 इकाइयाँ हो तो सिद्ध करें

a=3+-2√15

Ans.

AB=√(a-3)2+(5-3)2

8=√(a-3)2+(2)2

Squaring on both sides

64=(a-3)2+4

64-4=(a-3)2

60=(a-3)2

√60=a-3

+-2√15=a-3      =a=3+-2√15

(ii) यदि P=(7, 5), Q=(10m+3) और PQ=5 इकाइयाँ हो तो सिद्ध करें कि m=-2 अथवा 6

उत्तर:-

P(7, 5)=x, y

Q=(10, m+3) 

PQ=√(x1-x2)+(y1-y2)2

5=√(7-10)2+(5-(m+3)2

Squaring on both sides

25=(-3)2+(5-(m+3)2

25=9+(5-m-3)2

25-9=(2-m)2

16=(2-m)2

√16=2-m

+-4=2-m     

-4-2=-m          4-2=-m

-m=-6               -m=2

m=6                   m=-2

(iii) यदि M और N के निर्देशांक क्रमशः (P-3,11) और (6,3) हो तो सिद्ध करें कि P=24 अथवा -6 जबकि MN=17 इकाइयाँ

Answer:-

MN=√(x1-x2)2+(y1-y2)2

17=√(P-3-6)2+(11-3)2

17=√(P-9)2+(8)2

Squaring on both sides

289=(P-9)2+64

289-64=(P-9)2

225=(P-9)2

√225=(P-9)2

+-15=P-9

P=15+9=25           P=-15+9=-6

7.  सिद्ध करें कि बिंदुओं (-5, 2) और (10, -3) से बिंदु (5, 7) की दूरियाँ बराबर है|

उत्तर:-

A(-5, 2) B(10, -3) C(5, 7) 

AC=√(-5-5)2+(2-7)2

     =√(-10)2+(-5)2

     =√100+25=√125

BC=√(10-5)2+(-3-7)2

     =√(5)2+(-10)2

     =√25+100=√125

8. यदि A और B बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः (asinA, -bcosA) और (-acosA, bsinA) हो तो सिद्ध करें कि OA2+OB2=a2+b2 जहाँ मूल बिंदु है|

उत्तर:-

OA=√(0-asinA)2+(0-(-bcosA)2

OA=√a2sin2A+b2cos2A

Squaring on both sides

OA2=a2sin2A+b2cos2A  ——(1) 

OB=√(0-(-acosA)2+(0-bsinA)2

OB=√a2cos2A+b2sin2A

Squaring on both sides

OB2=a2cos2A+b2sin2A  ——-(2) 

 

Equation (1)+ (2)

OA2+OB2=a2sin2Ab2cos2A+a2cos2A+b2sin2A

=sin2A(a2+b2)+cos2A(a2+b2) 

=a2+b2(sin2A+cos2A) 

=a2+b2

OA2+OB2=a2+b2 proved

9. (i) यदि (x, y) की दूरियाँ दो बिंदुओं (1, 2) और (-3, 4) से बराबर हो तो सिद्ध करें कि 

2x-y+5=0

Ans. 

√(x-)2+(y-2)2=√(x+3)2+(y-4)2

Squaring on both sides

(x-1)2+(y-2)2=(x+3)2+(y-4)2

x2-2x+1+y2-4y+4=x2+6x+9+y2-8y+16

-2x-4y+5=6x-8y+25

6x-8y+25+2x+4y-5=0

8x-4y+20=0

2x-y+5=0          

(ii) x और y के बीच एक संबंध स्थापित करें ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ हो|

उत्तर:-

√(x-7)2+(y-1)2=√(x-3)2+(y-5)2

Squaring on both sides

(x-7)2+(y-1)2=(x-3)2+(y-5)2

x2-14x+49+y2-2y+1=x2-6x+9+y2-10y+25

-14x+49-2y+1=-6x+9-10y+25

-14x+49-2y+1+6x-9+10y-25=0

-8x+8y+16=0

-x+y+2=0

2=x-y

10. (i) यदि A=(2, -3) और रेखा खंड AB की लंबाई=10 इकाइयाँ तथा B का भुज=10 तो दिखाइए कि B की कोटि B अथवा -9 होगी|

उत्तर:-

AB=√(2-10)2+(-3-P)2

10=√(-8)2+(-3-P)2

Squaring on both sides

100=64+(-3-P)2

100-64=(-3-P)2

36=(-3-P)2

√36=-3-P

+-6=-3-P

6+3=-P        -6+3=-P

9=-P                 -3=-P

P=-9                  P=3

(ii) यदि बिंदु (x, y) की दूरी (-3, 0) , (3,0) में प्रत्येक से 4 इकाइयों के बराबर हो तो दिखाइए कि x=0 तथा y= +-√7

Answer:—

Distance=√(x-(-3)2+(y-0)2

4=√(x+3)2+y2

Squaring on both sides

16=(x+3)2+y2   

(x+3)2+y2-16=0      ——-(1) 

Distance=√(x-3)2+(y-0)2

4=√(x-3)2+(y)2

Squaring on both sides

16=(x-3)2+y2 

(x-3)2+(y2)-16=0     ———(2) 

From eq (1) &(2) 

(x+3)2+y2-16=(x-3)2+(y)2-16

x2+6x+9+y2-16=x2-6x+9+y2-16

6x+6x=0

12x=0

x=0

(iii) दिखाइए कि a=5 अथवा 1 जिससे कि बिंदुओं (a,2) और (3,4) के बीच की दूरी √8 इकाइयाँ है|

उत्तर:-

AB=√(a-3)2+(2-4)2

√8=√(a-3)2+(2-4)2

Squaring on both sides

8=(a-3)2+4

8-4=(a-3)2

4=(a-3)2

√4=a-3

+-2=a-3              

2=a-3          -2=a-3

2+3=a          -2+3=a

a=5                    a=1

(iv) बिंदु (0, 1) की दूरी बिंदुओं P(x,6) और R(5,-3) से समान है तो x का मान बताओं|

Answer:—-

QP=√(x1-x2)2+(y1-y2)2

=√(0-x)2+(1-6)2

=√x2+(-5)2=√x2+25       ——(1) 

QR=√(0-5)2+(1-(-3)2

√25+(4)2=√25+16=√41      —-(2) 

From eq (1) &(2) 

√x2+25=√41

Squaring on both sides

x2+25=41

x2=41-25=16

x=√16=+-4

11. (i) x अक्ष पर स्थित उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (-2, 5) और (2, -3) से समदूरस्थ है|

उत्तर:-

(x, 0) और (-2, 5) के बीच की दूरी=

√(x-(-2)2+(0-5)2

(x, 0) और (2, -3) के बीच की दूरी=

√(x-2)2+(0+3)2

√(x-(-2)2+(0-5)2=√(x-2)2+(0+3)2

√(x+2)2+25=√(x-2)2+9

Squaring on both sides

(x+2)2+25=(x-2)2+9

x2+4x+4+25=x2-4x+4+9

4x+4x=9-25

8x=-16

x=-16/8=-2

(ii) y अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो निम्नलिखित से समदूरस्थ हो|

(a) (-5, -2) and (3, 2) 

(b) (6, 5) and (-4, 3) 

Answer:——

(a) (0, y) और (-5, -2) के बीीच की दूरी=

√(0-(-5)2+(y-(-2)2

(0,y) और (3, 2) के बीच की दूरी=

√(0-3)2+(y-2)2

√(0+5)2+(y+2)2=√(-3)2+(y-2)2

Squaring on both sides

(5)2+(y+2)2=(-3)2+(y-2)2

25+y2+4y+4=9+y2-4y+4

4y+29=-4y+13

4y+4y=13-29

8y=-16

  y=-2

(B) (0, y) और (6, 5) के बीच की दूरी=

√(0-6)2+(y-5)2

(0,y) और (-4, 3) के बीच की दूरी=

√(0-(-4)2+(y-3)2

√(0-6)2+(y-5)2=√(0-(-4)2+(y-3)2

Squaring on both sides

(-6)2+(y-5)=(4)2+(y-3)2

36+y2-10y+25=16+y2-6y+9

61-10y=25-6y

-10y+6y=25-61

-4y=-36

y=-36/-4=9

12. (i) सिद्ध करें कि तीन क्रमागत बिंदुएं (2, 1), (5, -1) और (8, -3) संरेख है|

उत्तर:-

P (2, 1), Q(5, 1) और R (8, -3)

PQ=√(2-5)2+(1-1)2=√(-3)2+(2)2

√9+4=√13

QR=(5-8)2+(-1+3)2=√(-3)2+(2)2

√9+5=√13

PR=√(2-8)2+(1+3)2=√(-6)2+(4)2

√36+16=√52=2√13

PQ+QR=√13+√13=2√13=PR proved

(ii) सिद्ध करें कि तीन क्रमागत बिंदुएं (-3, 16), (1, 4) और (3, -2) एक रैखिक है|

उत्तर:-

P(-3, 16) Q(1, 4) R(3, -2) 

PQ=√(-3-1)2+(16-4)2=√(-4)2+(12)2

√16+144=√160=4√10

QR=√(1-3)2+(4-(-2)2=√(-2)2+(6)2

√4+36=√40=2√10

PR=√(-3-3)2+(16-(-2)2=√(-6)2+(18)2

√36+324=√360=6√10

PQ+QR=4√10+2√10=6√10=PR  proved

(iii) दिखाइए कि तीन क्रमागत बिंदुएं (-5, -4), (1, 2) और (3, 4) संरेख है|

उत्तर:-

P(-5, -4)   Q(1, 2)     R(3, 4) 

PQ=√(-5-1)2+(-4-2)2=√(-6)2+(-6)2

√36+36=√72=6√2

QR=√(1-3)2+(2-4)2=√(-2)2+(-2)2

√4+4=√8=2√2

PR=√(-5-3)2+(-4-4)2=√(-8)2+(-8)2

√64+64=√128=8√2

PQ+QR=6√2+2√2=8√2=PR    proved

13. सिद्ध करें कि उस त्रिभुज की परिमिति 12 इकाइयाँ है, जिसके शीर्ष के निर्देशांक (3, 4) (0, 4) और (3, 0) है| साथ ही, यह भी सिद्ध करें कि त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ मिलकर तीसरी भुजा से बड़ी होती है|

उत्तर:-

A(3, 4) B(0, 4) C(3, 0) 

AB=√(3-0)2+(4-4)2=√(3)2=√9=3

BC=√(0-3)2+(4-0)2=√(-3)2+(4)2=√9+16

=√25=5

AC=√(3-3)2+(4-0)2=√(4)2=√16=4

Perimeter of                triangle=AB+BC+AC=3+5+4=12

14. सिद्ध करें कि बिन्दुएं (0, 2) (3, 1) (1, -1) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| इसके आधार की लंबाई प्राप्त करें——

उत्तर:—-

AB=√(0-3)2+(2-1)2=(-3)2+(1)2

√9+1=√10

BC=√(3-1)2+(1-(-1)2=√(2)2+(2)2

√4+4=2√2

AC=√(0-1)2+(2-(-1)2=√(-1)2+(3)2

√1+9=√10

AB=BC समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है

15. सिद्ध करें कि बिंदुएं (2a, 4a) (2a, 6a) और (2a+√3, 5a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| जिसके प्रत्येक भुजा की लंबाई 2a इकाइयाँ है|

उत्तर:-

A(2a, 4a) B(2a, 6a) C(2a+√3, 5a) 

AB=√(2a-2a)2+(4a-6a)2=√4a2=2a

BC=√(2a-2a-√3a)2+(6a-5a)2

=√3a2+a2=√4a2=2a

AC=√(2a-2a-√3a)2+(4a-5a)2

√3a2+(-a)2=√4a2=2a

16. सिद्ध करें कि (1, √3) (1, 3√3) और (4, 2√3) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|

उत्तर:-

 (1, √3) (1, 3√3) और (4, 2√3)

AB=√(1-1)2+(√3-3√3)2=√(-2√3)2=12

BC=(1-4)2+(3√3-2√3)2=√(-3)2+(√3)2

√9+3=√12

AC=√(1-4)2+(√3-2√3)2=√(-3)2+(-√3)2

√9+3=√12

17. सिद्ध करें कि (3, 4) (8, -6) और (13, 9) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है| यह भी दिखाइए कि कर्ण की लंबाई 5√10 इकाइयाँ है|

उत्तर:-

 (3, 4) (8, -6) और (13, 9)

AB=√(3-8)2+(4+6)2=√(-5)2+(10)2

√25+100=√125

BC=√(8-13)2+(-6-9)2=√(-5)2+(-15)2

√25+225=√250=5√10

AC=√(3-13)2+(4-9)2=√(-10)2+(-5)2

√100+25=√125

18. सिद्ध कीजिये कि (-2, 3) (8, 3) और (6, 7) मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं| क्या यह त्रिभुज समद्विबाहु भी है? 

उत्तर:-

AB=√(-2-8)2+(3-3)2=√(-10)2=10

BC=√(8-6)2+(3-7)2=√(2)2+(-4)2

√4+16=√20=2√5

AC=√(-2-6)2-(3-7)2=√(-8)2+(-4)2

√64+16=√80=4√5

समकोण त्रिभुज:—–

AB2=BC2+AC2

(10)2=(2√5)2+(4√5)2

100=20+80

100=100

19. सिद्ध करें कि बिंदुओं (2, 4) (6, 9) (8, 10) (4, 5) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है| यह भी दिखाइए कि यह एक आयत नहीं हो सकता है|

उत्तर:-

AB=√(2-6)2+(4-9)2=√(-4)2+(-5)2

√16+25=√41

BC=√(6-8)2+(-10)2=√(-2)2+(-1)2

√4+1=√5

AD=√(4-2)2+(5-4)=√(2)2+(1)2

√4+1=√5

DC=√(4-8)2+(5-10)2=√(-4)2+(-5)2

√16+25=√41

AC=√(2-8)2+(4-10)2=√(-6)2+(-6)2

√36+36=√72

BD=√(4-6)2+(5-9)2=√(-2)2+(-4)2

√4+16=√20

20. सिद्ध करें कि बिंदुएं (3, 2), (6, 3) (7, 6) (4, 5) एक सम चतुर्भुज के शीर्ष क्या यह एक वर्ग हो सकता है|

उत्तर:-

AB=√(3-6)2+(2-3)2=√(-3)+(-1)=√9+1

√10

BC=√(6-7)2+(3-6)2=√(-1)2+(-3)2

√1+9=√10

AD=√(3-4)2+(-3)2=√1+9=√10

DC=√(4-7)2+(5-6)2=√(-3)2+(-1)2

√9+1=√10

AC=√(3-7)2+(2-6)2=√(-4)2+(-4)2

√16+16=√32

BD=√(4-6)2-(5-3)2=√(-2)2+(2)2

√4+4=√8

21. सिद्ध करें कि बिंदुएं (2, -2) (8, 4) (5, 7) (1, -1) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है| क्या यह एक आयात हो सकता है|

उत्तर:——

AB=√(2-8)2+(-2-4)2=√(-6)2+(-6)2

√36+36=√72=6√2

BC=√(8-5)2+(4-7)2=√(3)2+(-3)2

√9+9=√18=3√2

CD=√(5-(-1)2+(7-1)2=√(5+1)2+(6)2

√(6)2+(6)2=√36+36=√72=6√2

AD=√(-1-2)2+(1-(-2)2=√(-3)2+(3)2

√9+9=√18=3√2

AC=√(2-5)2+(-2-7)2=√(-3)2+(-9)2

√9+81=√90=3√10

BD=√(-1-8)2+(1-4)2=√(-9)2+(-3)2

√81+9=√90=3√10

22. सिद्ध करें कि बिंदुएं (-3, 0) (-1, 2) (1, 0) (-1, 2) एक वर्ग के शीर्ष है| इसकी परिमिति भी ज्ञात करें-

उत्तर:—–

AB=√(-3+1)2+(0-2)2=√(-2)2+(-2)2

√4+4=√8=2√2

BC=√(-1-1)2+(2-0)2=√(-2)2+(2)2

√4+4=√8=2√2

CD=√(1-(-1)2+(0-(-2)2=√(1+1)2+(0+2)2

√4+4=√8=2√2

AD=√(-3-(-1)2+(0-(-2)2=√(-3+1)2+(0+2)2

√(-2)2+(2)2=√4+4=√8=2√2

AC=√(-3-1)2+(0-0)2=√(-4)2+0=√16=4

BD=√(-1-(-1)2+(2-(-2)2=√(-1+1)2+(2+2)2

√(4)2=√16=4

परिमिति=4×2√2=8√2

(ii) दिखाएं कि बिंदुएं (1, 7) (4, 2) (-1, -1) (-4, 4) एक वर्ग के शीर्ष है| इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात करें-

उत्तर:——

A (1, 7) , B (4, 2) , C (-1, -1) ,  D(-4, 4)

AB=√(1-4)2+(7-2)2=√(-3)2+(5)2

√9+25=√34

BC=√(4-(-1)2+(2-(-2)2=√(4+1)2+(2+1)2

√(5)2+(3)2=√25+9=√34

CD=√(-1-(-4)2+(-1-4)2=√(-1+4)2+(-5)2

√(3)2+25=√9+25=√34

AD=√(1-(-4)2+(7-4)2=√(1+4)2+(3)2

√(5)2+(3)2=√25+9=√34

AC=√(1-(-1)2+(7-(-1)2=√(1+1)2+(7+1)2

√(2)2+(8)2=√4+64=√68

BD=√(4-(-4)2+(2-4)2=√(4+4)2+(-2)2

√(8)2+(-2)2=√64+4=√68

वर्ग के क्षेत्रफल=(√34)2=34

23. उस वृत्त का केंद्र ज्ञात करें जो उस त्रिभुज के परिगत खींचा गया है| जिसके शीर्षों के निर्देशांक (1, 1) (2, 3) (-2, 2) है|

उत्तर:——

माना P(x, y) A(1, 1) B(2, 3) C(-2, 2) 

(PA)2=(x-1)2+(y-1)2=x2-2x+1+y2-2y+1

          =x2+y2-2x-2y+2

(PB)2=(x-2)2+(y-3)2=x2-4x+4+y2-6y+9

         =x2+y2-4x-6y+13

(PC)2=(x-(-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y-2)2

x2+4x+4+y2-4y+4=x2+y2+4x-4y+8

(PA)2=(PB)2

=x2+y2-2x-2y+2=x2+y2-4x-6y+13

-2x-2y+2=-4x-6y+13

2x-2y+4x+6y=13-2

2x+4y=11   ——-(1) 

(PA)2=(PC)2

=x2+y2-2x-2y+2=x2+y2+4x-4y+8

-2x-2y+2=4x-4y+8

4x-4y+2x+2y=2-8

6x-2y=-6     ———-(2) 

From eq (1)+(2)×2

2x+4y=11

12x-4y=-12    

14x=-1

x=-1/14

Put the value of x in eq (1) 

2x+4y=11

2×(  -1   ) +4y=11

        14

   -1    + 4y=11

   7

4y=11+  1  

               7

4y=   77+1    =      78    =   39  

           7×4             28        14        

24. सिद्ध करें कि बिंदु (1, -1) उस वृत्त का केंद्र है जो उस त्रिभुज के परिगत खींचा गया है जिसके शीर्ष के निर्देशांक (4, 3) (-2, 3) (6, -1) है|

उत्तर:—–

P(1,-1)  A(4, 3) B(-2, 3) C(6, -1) 

(PA)2=(1-4)2+(-1-3)2=(-3)2+(-4)2=9+16=25

(PB)2=(1-(-2)2+(-1-(-3)2=(1+2)2+(-4)2

(3)2+(-4)2=9+16=25

(PC)2=(1-6)2+(-1-(-1)2=(-5)2+(0)2=25

(PA)2=(PB)2=(PC)2

 बिंदु (1, -1) उस वृत्त का केंद्र है 

25. दिखाएं कि बिंदुओं (-10, -9) (32, 5) (18, 23) से बिंदु (7, 10) की दूरियाँ बराबर है? 

उत्तर:——–

 A(-10,-9) B(32, 5) C(18, 23) P(7, 10) 

(PA)2=(7-(-10)2+(10-(-9)2=(7+10)2+(10+9)2=(17)2+(19)2=289+361=650

(PB)2=(7-32)2+(10-5)2=(-11)2+(5)2=121+529=650

(PC)2=(7-18)2+(10-33)2=(-11)2-(-23)2

121+529=650

(PA)2=(PB)2=(PC)2

बिंदु (7, 10) की दूरियाँ बराबर है