Bharti Bhawan Class-10 Math Co-ordinate Geometry Solution Exercise-1B

                         

                             प्रश्नावली-1B

1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को मिलाने वाले रेखा खंड को 3:1 के अनुपात में अंतर्विभाजित करता है|

उत्तर:—–

m1=3       m2=1

x1=4         x2=8

y1=-3        y2=5

(x, y)=  m1x2+m2x1, m1y2+m2y1

               m1+m2            m1+m2

3×8+1×4   ,      3×5+1×(-3) 

     3+1                  3+1

  24+4     ,        15-3   

    4                      4

  28    ,        12     =(7, 3) 

   4               4

2. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखा खंड को 2:3 के अनुपात में अंतर्विभाजित करता है|

उत्तर:-

m1=2       m2=3

x1=-1        x2=4

y1=7         y2=-3

(x, y) = m1x2+m2x1   ,   m1y2+m2y1  

                 m1+m2                m1+m2

  2×4+3×(-1)    ,     2×(-3)+3×7  

       2+3                        2+3

  8 –  3    ,       -6 +  21   

     5                    5

  5    ,      15     =(1, 3) 

  5            5

3. (i) यदि A(0, 2), B(3, 0) और रेखा खंड AB पर P एक बिंदु इस प्रकार है कि AB/AP=5/2 तो के P निर्देशांक ज्ञात करें-

ANSWER:——

 AB/AP=5/2

  AB   –   1   =   5   –   1  

  AP       1        2       1

  AB-AP   =    5-2  

     AP             2

  BP   =    3   

  AP         2

M1=2      M2=3

X1=0       X2=3

Y1=2        Y2=0

(X, Y) =M1X2+M2X1   ,   M1Y2+M2Y1  

                  M1+M2               M1+M2

   2×3+2×0    ,    2×0+3×2  

      3+2                   3+2

  6   ,    6  

  5        5   

(ii) यदि A और B के निर्देशांक (1, 2) तथा (2, 3) है| रेखा खंड AB पर R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AR:RB=4:3 

ANSWER:—–

  AR   =   4    =   m1  

  RB        3          m2

m1=4,      m2=3

x1=1         x2=2   

y1=2          y2=3

R= m2x2+m2x1     m1y2+m2y1   

         m1+m2             m1+m2

  4×2+3×1         4×3+3×2    

      4+3                   4+3 

   8+3              12+6    =   11       18   

    7                     7             7         7

4. (2, -3) और (5, 6) को मिलाने वाला रेखा खंड को x अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है|

Answer:::–

(x, 0) =  m1x2+m2x1      m1y2+m2y1  

                    m1+m2            m1+m2

0= m1y2+m2y1  

         m1+m2

  m1y2+m2y1=0

m1×6+m2×(-3)=0

6m1-3m2=0

6m1=3m2

  m1   =   3   =   1  

  m2        6        2

m1:m2=1:2

5. (i) बिंदुओं (3, -6) और (-6, 8) को मिलाने वाले रेखा खंड को x अक्ष किस अनुपात में बांटता है? 

Answer:—-

(x, 0)=     m1x2+m2x1       m1y2+m2y1   

                   m1+m2                 m1+m2

0=   m1y2+m2y1  

             m1+m2

m1y2+m2y1=0

m1×8+m2×(-6)=0

8m1-6m2=0

8m1=6m2

   m1   =   6    =   3  

   m2        8         4

m1:m2=3:4

(ii) बिंदुओं (5, -6) और (-1, -4) को मिलाने वाली रेखा खंड को  y अक्ष किस अनुपात में बांटता है? छेदन बिंदु भी ज्ञात करें-

Answer:——

(0, y) =   m1x2+m2x1      m1y2+m2y1  

                  m1+m2              m1+m2

0=   m1x2+m2x1  

           m1+m2 

m1x2+m2x1=0

m1×(-1)+m2×5=0

-m1+5m2=0

5m2=m1

  m1    =   5   

  m2          1

m1:m2=5:1

y= 5×(-4)+1×(-6)

            5+1

   -20-6      =    -26     =   -13  

     6                   6             3

6.  मूल बिंदु से उस बिंदु की दूरी निकाले जो (5, -4) और (3, -2) बिंदुओं को मिलाने वाले रेखा खंड को 4:3 के अनुपात में अंतर्विभाजित करती है|

उत्तर:——

(x, y) =   m1x2+m2x1      m1y2+m2y1  

                   m1+m2              m1+m2

  4×3+3×5       4×(-2) + 3×(-4)  

      4+3                   4+3

  12+15        -8-12    =   27     -20  

      7               7              7         7

मूल बिंदु से दूरी=√(0-   27  )2+(0+   20  )2

                                 7                   7

√  729  +   400  =√  1129  = 1  √1129

     49          49           49        7

7. (i) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदु (4, -1) को बिंदु (-2, -3) से मिलाने वाले रेखा खंड को तीन बराबर भागों में बांटते हैं|

उत्तर::—

P के निर्देशांक द्वारा, 1:2

m1=1       m2=2

x1=4          x2=-2

y1=-1         y2=-3

(x, y)=   m1x2+m2x1      m1y2+m2y1

                 m1+m2               m1+m2

 1×(-2)+2×4     1×(-3) + 2×(-1) 

      1+2                   1+2

 -2 + 8          -3  -2    =  6   -5  =2,  -5  

    3                   3          3    3          3

Q के निर्देशांक द्वारा, 2:1

(x, y) =   m1x2+m2x1     m1y2+m2y1  

                   m1+m2             m1+m2

  2×(-2) +1×4       2×(-3) +1×(-1)  

        2+1                       2+1

 -4 + 4          -6  –   1    =0,  -7  

      3                  3               3

(iii) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जो (2, -2) और (-7, 4) को मिलाने वाले रेखा खंड को समद्विभाजित करता है|

उत्तर:—–

P के निर्देशांक द्वारा 1:2

m1=1      m2=2

x1=2          x2=-7

y1=-2          y2=4

(x, y)=    m1x2+m2x1     m1y2+m2y1  

                    m1+m2            m1+m2

 1×(-7) +2×2      1×4+2× (-2) 

      1+2                        1+2

  -7+4             4-4     =  -3   , 0=(-1, 0) 

     3                 3            3

Q  के निर्देशांक द्वारा 2:1

m1=2     m2=1 

x1=2       x2=-7

y1=-1       y2=4

(x, y) =   m1x2+m2x1     m1y2+m2y1  

                    m1+m2             m1+m2

 2×(-7) +1×2       2×4+1×(-2)  

      2+1                      2+1

  -14 +2        8-2   =  -12   ,   6  =(-4, 2) 

     3               3           3        3

8. (i) बिंदु p(-6, 10) एवं Q(3, -8) को मिलाने वाले रेखा खंड को (-4, 6) किस अनुपात में बांटता है|

उत्तर:-

X=-4          y=6

x1=-6              x2=3

y1=10              y2=-8

x= m1x2+m2x1   

        m1+m2

-4=m1×3+m2×(-6) 

        m1+m2

-4m1-4m2=3m1-6m2

-4m1-3m1=-6m2+4m2

-7m1=-2m2

  m1    =   – 2   

  m2        –  7

m1:m2=2:7

(ii) वह अनुपात ज्ञात करें जिसमें बिंदु (-6, a) बिंदुओं A(-3, -1) तथा B(-8, 9) से बनने वाले रेखा खंड को बांटता है|  a का मान ज्ञात करें-

उत्तर:-

x=-6        y=a

x1=-3       x2=-8

y1=-1        y2=9

x=    m1x2+m2x1    

            m1+m2

-6=   m1×(-8) + m2×(-3)   

              m1+m2

-6m1-6m2=-8m1-3m2

-6m1+8m1=-3m2+6m2

2m1=3m2

  m1     =     3    

  m2            2

m1:m2=3:2

y=   m1y2+m2y1   

          m1+m2

a=    3×9+2×(-1) 

            3+2

=   27-2     =   25   =5

        5              5

9. बिंदुओं (2, -2) और (-2, 2) को मिलाने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:-

x1=2, y1=-2, x2=-2, y2=2

X=   x1+x2   =   2-2   =   0   =0

           2              2           2

Y=   y1+y2   =   -2+2   =   0   =0

           2               2           2

10. बिंदुओं (6, 8) और (2, 4) को मिलाने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु की दूरी (1, 2) से ज्ञात करें-

उत्तर:-

x1=6, y1=8, x2=2, y2=4

X=   x1+x2   =  6+2   =   8   =4

           2               2         2

Y=  y1+y2   =  8+4   =   12   =6

          2              2           2

(4, 6)    (1, 2) 

Distance= √(4-1)2+(6-2)2=√(3)2+(4)2

=√9+16=√25=5

11. बिंदुओं (3, 4) और (k, 7) को मिलाने वाले रेखा खंड का मध्य बिंदु(x, y) है, जहाँ 2x+2y+2=0 तो k का मान ज्ञात करें-

उत्तर:-

x1=3, y1=4, x2=k, y2=7

X=   x1+x2   =   3+k  

            2             2

Y= y1+y2   =   4+7  

         2               2

2x+2y+2=0

2×   3+k   + 2×   4+7   + 2=0

         2                  2

3+k+4+7+2=0

k+15=0

k=-15

12. रेखा खंड AB का मध्य बिंदु (2,4) है,और A के निर्देशांक (5, 7) है तो B के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:—–

AB=(2, 4)=       X=2, Y=4

  A=(5, 7)=      x1=5,   y1=7

   B=(x, y)=      x2=x,   y2=y

X=  x1+x2                    Y=   y1+y2  

          2                                    2

2=   5+x                       4= 7+y   

         2                                2

4=5+x                         8=7+y

x=4-5=-1                     y=8-7=1

13. किसी त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक (1, 1) है और उससे गुजरने वाली भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक (-2, 3) और (5, 2) है तो त्रिभुज के शेष शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:—

मध्य बिंदु=(-2, 3)               मध्य बिंदु=(5,2) 

A=(1, 1)                        A(1,1) 

B=(x, y)                          B(x, y) 

-2=  1+x                        5= 1+x  

        2                                  2

-4=1+x                         10=1+x

x=-4-1=-5                     x=10-1=9

3=  1+y                       2= 1+y 

        2                                 2

6=1+y                         4=1+y

y=6-1=5                        y=4-1=3

14. किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक (1, 1) (2, -3) (3, 4) है| त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:-

मध्य बिंदुओं के निर्देशांक–(3, 4),(2,-3),(1, 1)

A(x1, y1),   B(x2, y2),       C(x3, y3) 

3= x1+x2  

         2

x1+x2=6 ——-(1) 

4=   y1+y2  

           2

y1+y2=8   —–(2) 

2=    x2+x3   

            2

x2+x3=4    ———-(3) 

-3=    y2+y3   

              2

y2+y3=-6     ———-(4) 

1=    x1+x3   

            2

x1+x3=2     ————(5) 

1=     y1+y3    

             2

y1+y3=2           ———-(6) 

समी ० (1) +(3) +(5) को जोड़ने पर, 

x1+x2+x2+x3+x1+x3=6+4+2=12

2×1+2×2+2×3=12

2(x1+x2+x3)=12

x1+x2+x3=12/2=6

x1+x2+x3=6           ————(7) 

समी ० (7) – (1) 

x1+x2+x3-(x1+x2)=6-6

x3=0

समी ० (7) – (3) 

x1+x2+x3-(x2+x3)=6-4

x1=2

समी ० (7) – (5) 

x1+x2+x3-(x1+x3)=6-2

x2=4

समी ० (2) +(4) +(6) को जोड़ने पर,

y1+y2+y2+y3+y1+y3=8-6+2

2y1+2y2+2y3=4

2(y1+y2+y3) =4

y1+y2+y3=2 ———(8) 

समी ० (8) – (2) 

y1+y2+y3-(y1+y2)=2-8

y3=-6

समी ० (8) – (4) 

y1+y2+y3-(y2+y3) =2+6

y1=8

समी ० (8) – (4) 

y1+y2+y3-(y1+y3)=2-2

y2=0

(x1, y1)=(2, 8) 

(x2, y2)=(4, 0) 

(x3, y3)=(0, -6) 

15. किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक (a,b),(c,d),(e,f) है तो इसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:——-

माना कि ABC एक त्रिभुज है| जिसमें AB BC AC के मध्य बिंदु क्रमशः  (a,b) (c,d) (e,f) है| 

A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3) 

a=  x1+x2   

         2

x1+x2=2a   ——-(1) 

c=   x2+x3   

           2

x2+x3=2c      ——-(2) 

e=   x1+x3  

           2

x1+x3=2e     ———–(3) 

समीकरण (1) +(2) +(3) से

x1+x2+x2+x3+x1+x3=2a+2c+2e

2×1+2×2+2×3=2(a+c+e) 

2(x1+x2+x3)=a+c+e

x1+x2+x3=a+c+e       ———-(4) 

समीकरण (4) में से समीकरण (1) (2) (3) को घटाने पर, 

x1+x2+x3=a+c+e=c+e-a

x1+x2      =2a

x3=a+c+e-2a=c+e-a

x1+x2+x3=a+c+e

      x2+x3=2c      

x1=a+c+e-2c=a+e-c

x1+x2+x3=a+c+e

x1       +x3=2e       

x2=a+c-e

 y के निर्देशांक

b=    y1+y2   

            2

y1+y2=2b       ——–(5) 

d=   y2+y3   

           2

y2+y3=2d     ——–(6) 

f=   y1+y3  

          2

y1+y3=2f           ———–(7) 

समीकरण (5) +(6) +(7) से

y1+y2+y2+y3+y3+y1=2v+2d+2f

2y1+2y2+2y3=2(b+d+f) 

y1+y2+y3=b+d+f      ——(8) 

समीकरण (8) में से (5) (6) (7) को क्रमशः घटाने पर

y3=b+d+d-2b=f+d-b

y1=b+d+f-2d=b+f-d

y2=b+d+f-2f=b+d-f

A, B, C= (a+e-c, b+f-d, a+c-e) 

16. A=(1, 1), B(3, -1) और रेखा AB पर P एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि B A और P के बीच में स्थित है| एवं AP 2AB तो P के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि AP रेखा के बीच में B(3,-1) बिंदु स्थित है|

दिया हुआ कि AP=2AB

B, AP का मध्य बिंदु हुआ

3=   1+x                  -1=  1+y   

         2                              2

6=1+x                      -2=1+y

x=6-1=5                    y=-2-1=-3

17. किसी समांतर चतुर्भुज के तीन लगातार शीर्षों के निर्देशांक (6, -1) (10, 6) और (13, -5) है, चौथे निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, D के निर्देशांक x, y माना AC और BD विकर्ण है जो एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तो D(x,y) ज्ञात करना है|

E=  10+x    ,  6+y      ——–(1) 

         2            2

E=   6+13  ,    -1-5   

           2            2

समीकरण (1) और (2) से

 10+x   =   19            6+y  =  -6  

     2            2               2         2

20+2x=38               12+2y=-12

2x=38-20=18          2y=-12-12=-24

x=18/2=9                 y=-24/2=-12

18. (i) यदि बिंदुएं A(6,1) B(8,2) C(9,4) और (x,3) किसी समांतर चतुर्भुज के क्रमानुसार शीर्ष हो तो x का मान ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि A, B, C, D एक समांतर चतुर्भुज है|

माना कि AC और BD एक दूसरे को E बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं|

E, AC तथा BD का मध्य बिंदु है|

E=  10+x  ,  6+3      ——-(1) 

         2          2

E=   13+6  ,   -1-5     ——-(2) 

          2             2

समीकरण (1) और (2) से

  10+x    =   19  

     2              2

10+x=19

x=19-10=9

(ii) बिंदुएं (-2, -1), (1, 0) और (4, 3) समांतर चतुर्भुज के तीन लगातार शीर्ष बिंदु है तो चौथे शीर्ष बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज की लगातार भुजाएँ है| चौथी बिंदु D के निर्देशांक (x,y) माना

AC तथा BD विकर्ण है| इसिलिए एक दूसरे को समद्विभाजित करती है| 

E मध्य बिंदु है|

E=  1+x  ,  0+y       ——–(1) 

        2         2

E=   -2+4  ,  -1+3      ——-(2) 

          2            2

समीकरण (1) तथा (2) से

  1+x    =   2             0+y   =   -1+3   

    2           2               2              2

1+x=2                     0+y=-1+3

x=2-1=1                      y=2

19. किसी समांतर चतुर्भुज के दो शीर्ष (3, 2) (-1, 0) है एवं विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु (2, -5) है, तो समांतर चतुर्भुज के शेष दो शीर्ष निकालिए—–

उत्तर:-

माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है| बिंदु A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, 2) और (-1, 0) है|

C और D के निर्देशांक क्रमशः x, y तथा x2, y2 माना

यहाँ M A C तथा BD का विकर्ण है| m मध्य बिंदु है|

2=   3+x1                      2=x2-1 

          2                                 2

4=3+x1                        4=x2-1

x1=4-3=1                     x2=4+1=5

-5=  2+y1                   -5= 0+y2  

          2                                2

-10=2+y1                  -10=0+y2

y1=-10-2=-12               y2=-10

20. उस त्रिभुज की मध्यिकाओं की लंबाईयां निकाले शीर्षों के निर्देशांक (1, -1) (0, 4) (-5, 3) है|

उत्तर:-

माना कि ABC एक त्रिभुज है जिसमें

AB, BC तथा AC भुजा के मध्य

बिंदु क्रमशः F, E तथा D है|

x1=   1-5   =   -4    =-2

          2            2

y1=   -1+3    =   2    =1

            2            2

x2=   -5+0   =   -5   

            2            2

y2=   4+3   =   7   

           2           2

x3=   1+0   =   1   

           2           2

y3=   -1+4   =   3   

            2           2

माध्यिका BD= √(0-2)2+(4-1)2=√(-2)2+(3)2=√4+9=√13

माध्यिका AE=√(1-( -5  )2 + (-1- 7 )2

                              2                 2

√(1+ 5 )2+( -2-7  )2

         2           2

√(  7  )2 + (  -9   )2

      2              2

√  49   +   81   =√  130   = √130  

     4           4             4             2

माध्यिका CF=√(  1   +   5  )2+( 3  -6  )2

                         2         1             2

√(  1+10  )2+(  -3   )2

         2               2

√( 11 )2+  9   =√  121   +   9   

      2         4             4          4

√  121+9   = √  130  

        4                  2

21. यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (-2, 3) (8, 3) और (6, 7) हो तो उस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक लिखिये-

उत्तर:-

x= x1+x2+x3   =   -2+8+6    =   12  

            3                     3                3

Y= y1+y2+y3   = 3+3+7   =   13  

            3                   3             3

22. किसी त्रिभुज का केंद्रक (1, 3) और उसके दो शीर्ष (-7, 6) तथा (8, 5) है| तो तीसरे शीर्ष के निर्देशांक लिखिये-

उत्तर:-

1=  x-7+8          3=    y+5+6   

          3                          3

3=x+1               9=y+11

x=3-1=2             y=9-11=-2

23. त्रिभुज ABC में A=(k,2) B=(1,-k) और C=(-k,1+k) है| सिद्ध करें कि k के प्रत्येक मान के लिए त्रिभुज ABC का केन्द्रक एक ही है| और नियत केन्द्रक के निर्देशांक भी ज्ञात करें-

Answer:—

x=  k+1-k   =   1  

          3           3

y=  2-k+1+k   =   2-k+1+k   =  3   =1

            3                   3              3

24. यदि त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक (3-X,Y-2), (4,7) और (-4+4X,2Y+4) है और इसका केन्द्रक मूल बिंदु है तो X और Y के मान निकाले-

उत्तर:—

 3-x+4-4+4x   =0       y-2+7+2y+4 =0

        3                                  3

3x+3=0                          3y+9=0

3x=-3                              3y=-9

x=-1                                  y=-3

25. यदि किसी त्रिभुज के दो शीर्ष के निर्देशांक (-3, 1) और (0, -2) हो और त्रिभुज का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित हो तो तीसरे शीर्ष का निर्देशांक ज्ञात करें-

उत्तर:-

0=  -3+0+x          0= 1-2+y  

           3                       3

-3+x=0                  -1+y=0

x=3                          y=1

26. उस त्रिभुज के अंत: केंद्र के निर्देशांक प्राप्त करें कीजिये शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (-1, 12) (-1, 0) (4, 0) है|

उत्तर:-

c=√(-1-(-1)2+(0-12)2=√(0)2+(12)2=12

a=√(-1-4)2+(0-0)2=√(-5)2=√25=5

b=√(1-(4)2+(12-0)2=√(5)2+(12)2

√25+144=√159=13

G= (ax1+bx2+cx3, ay1+by2+cy3)

               a+b+c             a+b+c

 5×(-1) +13×(-1)+12×4  =  48-18 

      5+13+12                          30

   30    =1

  30

 5×12+13×0+12×0   =   60    =2

               5+13+12          30

27. उस त्रिभुज के अंत: केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात करें जिसके शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0) ( 7 , 0) 

                                                              3

(  5 ,  4  ) है|

   9    3

Answer:—–

AB=C, BC=a, AC=b

a=√(  7   –    5  )2+(0-   4  )2

         3         9                3

√(  21-5 )2+    16    

         9              9

√( 16  )2+  16   

      9            9

√  256   +   16  

      81          9

√  256+144  =√   440    =     20   

           81                81            9

b=√(0-  5   )2+ (0-   4   )2

             9                  3

=√ 25   +   16  

      81         9

√   25+144  

          81

√  169   

     81

=  13   

     9

C=√(0-   7  )2+(0-0)2

               3

=√  49   +0

       9

=  7  

    3

G=  ax1+bx2+cx3  ,  ay1+by3+cy3  

            a+b+c                a+b+c

 13  ×   7   +   7   ×   5  

  9        3         3        9           + 20×0

   20   +   13   +   7                      9

    9          9         3

0+  91   +   35  

      27         27       

    20 +   13  +21    

              9

  91+35  

     27       

     54 

      9

  126   ×   9    

   27         54

   7  

   9

  20  ×0+  13  ×0+   7  ×   4   

   9             9            3        3      

    20    +    13    +    7   

    9             9            3

0+0+            28/9           

                 20+13 +21     

                       9

  28   ×    9   

   9         54

  14  

  27