Bharti Bhawan Class-10 Math Co-ordinate Geometry Solution Exercise-1C

                       

                        प्रश्नावली-1C

1. उस त्रिभुज के क्षेत्रफल निकाले शीर्ष बिंदुओं के निर्देशांक निम्नलिखित हैं|

(i) (-5, -1) (3, -5) (5, 2) 

Answer:—-

x1=-5, y1=-1, x2=3, y2=-5, x3=5, y3=2

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

1/2[-5(-5-2)+3(2+1)+5(-1+5)]

1/2[-5×(-7)+3×3+5×4]

1/2(35+9+20)

  1   ×64=32

  2

(ii) (1, -2) (-3, 4) (5, -6)

Answer:—-

x1=1, y1=-2 x2=-3, y2=4 x3=5, y3=-6

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

1/2[1(4+6)-3(-6+2)+5(-2-4)]

1/2[1×10-3×(-4)+5×(-6)]

1/2[10+12-30]

  1  ×(-8)= -4

  2

(iii) (-5, 7) (-4, -5) (4, 5) 

Answer:—-

x1=-5, y1=7, x2=-4, y2=-5, x3=4, y3=5

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

1/2[-5(-5-5)-4(5-7)+4(6+5)]

1/2[-5×(-10)-4×(-2)+4×11]

1/2[50+8+44]

  1  ×106  = 53

  2

(iv)(at1,2at1),[(at2)2,2at2],[(at3)2,2at3]

Answer:—-

x1=at1,y1=2at1,

x2=(at2)2,y2=2at2,x3=(at3)2, y3=2at3

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

1/2[at2(2at2-2at3)+(at2)2(2at3-2at1)+(at3)2(2at1-2at2)]

1/2[2a2(t1)2(t2-t1)+2a2(t2)2(t3-t1)+2a2(t3)2(t1-t2)]

 1 ×2a2[(t1)2(t2-t3)+(t2)2(t3-t1)+(t3)2+(t1-t2]

2. (i) यदि प्रथम पाद के बिंदुओं A(x,y) B(1,2) C(2,1) से बने त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 6 हो तो सिद्ध करें कि x+y=15

उत्तर:—-

x1=x       x2=1       x3=2

x2=y        y2=2        y3=1

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

6=  1  [x(2-1)+1(1-y)+2(y-2)]

      2

12=[x+1-y+2y-4]

12=x+y-3

x+y=15

(ii) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 5 वर्ग इकाई है| यदि त्रिभुज के दो शीर्षों के निर्देशांक (2, 1) और (3, -2) है| और तीसरा शीर्ष (x,y) इस प्रकार हो कि y=x+3 तो तीसरा शीर्ष ज्ञात करें-

Answer:—-

x1=2      y1=1

x2=3      y2=-2

x3=x      y3=y

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

5=1/2[2(-2-y)+3(y-1)+x(1-(-2)]

5=1/2[-4-2y+3y-3+3x]

5=1/2[3x+y-7]

5=1/2[3x+x+3-7]    y=x+3

5=  1  [4x-4]            y= 7  +3

      2                             2

10=4x-4                  y=  7+ 3×2   

4x=10+4=14                  2

x=  14                     y=  7+6         

       4                              2

x=   7                       y=  13   

       2                              2

3.सिद्ध करें कि बिंदुएं (0, 11) (2, 3) (3, -1) 

संरेख है? 

उत्तर:—

x1=0       x2=2       x3=3

y1=11     y2=3        y3=-1

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

1/2[0(3-(-1)+2(-1-11)+3(11-3)]

1/2[0-24+24]

  1   ×0=0

  2

4. (i) k के किस मान के लिए बिंदुएं (3, k) (7, -2) (5, 1) संरेख है|

उत्तर:—–

x1=3       x2=7         x3=5

y1=k        y2=-2        y3=1

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

0=1/2[3(-2-1)+7(1-k)+5(k-(-2)]

0=1/2[3×(-3)+7-7k+5(k+2)]

0=1/2[-9+7-7k+5k+10]

0=  1   [-9+17-2k]

      2

0=8-2k

2k=8

k=   8    =4

       2

(ii) k के किस मान के लिए बिंदुएं (1, 1) (3, k) (-1, 4) संरेख है|

Answer:—-

x1=1        x2=3        x3=-1

y1=1        y2=k         y3=4

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

0=1/2[1(k-4)+3(4-1)-1(1-k)]

0=1/2[k-4+9-1+k]

0=  1   [2k+4]

       2

2k+4=0

2k=-4

k=-4/2=-2

5. सिद्ध करें कि बिंदुएं (3, 3) (∆, 0) (0,k) एक रैखिक होंगे यदि   1    +   1    =   1   

                          ∆         k         3

Answer:—–

x1=3, y1=3 x2=∆, y2=0 x3=0,y3=k

क्षेत्रफल=1/2[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2]

0=1/2[3(0-k)+∆(k-3)+0(3-0)]

0=1/2[-3k+∆k-3∆+0]

0=-3k+∆k-3∆

3k+3∆=∆k

दोनों ओर 3k∆ से भाग देने पर, 

   3k      +     3∆      =     ∆k     

  3k∆            3k∆          3k∆

  1       +      1       =      1     

  ∆               k               3

6.  उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकाले जिसके शीर्ष क्रमानुसार (-4, -2) (-3, -5) (3, -2) (2, 3) है|

उत्तर:- 

 A को D से मिलाने पर, 

ABC का क्षेत्रफल 

=1/2[-3(-2-(-2)+3(-2-(-5)-4(-5+2)]

=1/2[-3×0+3×3-4×(-3)]

1/2[0+9+12]=      21  

                              2

ACD का क्षेत्रफल 

=1/2[-4(-2-3)+3(3+2)+2(-2+2)]

1/2[20+15]=     35    

                           2

ABCD का क्षेत्रफल=ABC+ADC

    21       +       35  =    56     =28

     2                  2           2

7. किसी चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक (1, 1) (7, -3) (12, 2) (7, 21) है| सिद्ध करें कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल 132 वर्ग ईकाई है|

उत्तर:-

B को D से मिलाया

ABD का क्षेत्रफल  

=1/2[1(-3-21)+7(21-1)+7(1-(-3)]

1/2[-24+140+28]=   1   ×124=62

                                  2

DBC का क्षेत्रफल

=1/2[7(2-(-3)+12(-3-21)+7(21-2)]

1/2[7×5+12×(-24)+7×19]

1/2[35-288+133]

1/2[168-288]=  1  ×120=60

                           2

ABCD का क्षेत्रफल=62+60=132

8. यदि त्रिभुज के शीर्ष क्रमशः A(1,-4) B(1,1) C(4,5) हो तो A से BC पर लंब की लंबाई ज्ञात करें-

उत्तर:——

x1=1, y1=-4, x2=1, y2=1, x3=4, y3=5

ABC का क्षेत्रफल

=1/[1(1-5)+1(5-(-4)+4(-4-1)]

1/2[-4+9-20]=  1   [-15]=  -15    =  15  

                          2                2           2

BC=√(1-4)2+(1-5)2=√(-3)2+(-4)2

√9+16=√25=5

AD=    ∆ABC का क्षेत्रफल   

                  1  BC

                  2

                  15  

                   2                 

                   1    ×5

                   2

  15    ×    2    =3

   2           5

9. त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,-6) B(3,-2) और C(5,2) है| AD इसकी एक माध्यिका है| सिद्ध करें कि AD त्रिभुज ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बांटता है|

उत्तर:-

माना कि ABC एक त्रिभुज है| जिसकी माध्यिका AD है| AD माध्यिका है| इसिलिए D मध्यबिंदु है|

D=  3+5   =4,  -2+2   =  0   =0

         2               2          2 

x1=4, y1=0, x2=5, y2=2, x3=4, y3=-6, x4=3, y4=-2

त्रिभुज ABD क्षेत्रफल

=1/2[3(0-(-6)+4(-6-(-2)+4(-2-0)]

1/2[3×6+4×(-4)+4×(-2)]

1/2[18-16-8]

  1   ×[-6]=-3

  2

त्रिभुज ADC क्षेत्रफल

=1/2[4(2-(-6)+5(-6-0)+4(0-2)]

1/2[4×8+4×(-6)+4×(-2)]

1/2[32-30-8]=  1    ×(-6)=-3

                          2

10. त्रिभुज ABC के शीर्ष क्रमशः (1,1) (-3,2) (4,-1) है| D, E और F क्रमशः भुजा BC, CA AB के मध्य बिंदु हो तो सिद्ध करें कि

ABC का क्षेत्रफल=4× DEF का क्षेत्रफल

Answer:——

माना कि ABC एक त्रिभुज है| और D, E, F मध्य बिंदु है| DEF को मिलाया| 

D मध्य बिंदु है| इसिलिए निर्देशांक

=   -3+4    =   1  ,      2+(-1)    =   1   

        2            2             2             2

E के निर्देशांक=   1+4  =   5   ,  1-1  =0

                           2         2       2

F के निर्देशांक=   -3+1   =   -2   = -1

                           2           2        

                         1+2    =   3   

                            2           2

DEF का क्षेत्रफल=

 1 [ 1 (0-  3 )+  5 ( 3  –   1  )-1( 1   -0) ]

 2   2        2      2    2      2         2

 1 [ 1  ×  -3  +  5   × 2   -1×   1  ]

 2   2       2      2      2            2

  1  [  -3   +   5   –   1  ]

  2      4        2        2

  1   [  -3+10-2   ]=   1  ×   5    =   5  

  2           4                2       4        8

ABC का क्षेत्रफल=

1/2[1(2-(-1)-3(-1-1)+4(1-2)]

1/2[3+6-4]

  1   ×5 =   5   

  2              2

  5   = 4×   5   =   5  

  2              8        2

ABC का क्षेत्रफल=4× DEF का क्षेत्रफल