рдк्рд░рд╢्рдиाрд╡рд▓ी-3
рд░िрдХ्рдд рд╕्рдеाрдиों рдХो рднрд░ें——
1.(a) рдЪिрдд्рд░ рдоें PQR рдПрдХ рд╕рдордХोрдг рдд्рд░िрднुрдЬ рд╣ै рдЬिрд╕рдоें QR рдХ्рд╖ैрддिрдЬ рд╣ै, QR=8√3 рдФрд░ QPR=30 рддो
(i) R рдкрд░ P рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг=……
(ii)P рдкрд░ R рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг=…….
(iii) Q рд╕े P рдХी рдКँрдЪाрдИ=……..
Answer:—–
(i)60°[180-(90+30)]
(ii)60=(90-30)
(iii)24m
(b) ABC рдПрдХ рд╕рдордХोрдг рдд्рд░िрднुрдЬ рд╣ै рдЬिрд╕рдоें BC рдХ्рд╖ैрддिрдЬ рд╣ै AB=8 BAC=60 рддो
(i) C рдкрд░ A рдХा………30 рд╣ोрдЧा
(ii)A рдкрд░ C рдХा………..30рд╣ोрдЧा
(iii) Bрд╕े C рдХी рджूрд░ी…………
Answer:—–
(i)рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг (ii)рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг (iii) 8√3
2. ABC, A=90 AB=6 AC=2√3
рддो B рдХी рдоाрдк
Answer::::::——
tanA= 2√3
6
tanA= 2√3
2√3×√3
tanA= 1
√3
tanA=tan30
A=30
3.(i) рд╕рдордХोрдг рдд्рд░िрднुрдЬ ABC рдоें рдХрд░्рдг AC=12 рдПрд╡ं A=60 рддो рд╢ेрд╖ рднुрдЬाрдУं рдХी рд▓ंрдмाрдИрдпां рдиिрдХाрд▓े—
Answer:—–
Cos60= BA
CA
1 = AB
2 12
AB=12/2=6
tan60= BC
6
√3= BC
6
BC=6√3
(ii) in figure, ABC=90 BAC=60
AB =tan60
BC
AB =√3
BC
AB=√3BC
√3 рдЧुрдгा
4.(i) рдПрдХ рд╡ाрдпुрдпाрди рдХ्рд╖ैрддिрдЬ рддрд▓ рдХे рд╕ाрде 30° рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддे рд╣ुрдП рдЬрдоीрди рд╕े рдЙрдб़рддा рд╣ुрдЖ 184 рдоीрдЯрд░ рдЬाрддा рд╣ै рддो рдЬрдоीрди рд╕े рд╡ाрдпुрдпाрди рдХी рдКँрдЪाрдИ рдХिрддрдиी рд╣ोрдЧी?
Answer:—–
рдоाрдиा рдХि C рдмिंрджु рдкрд░ 30 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддे рд╣ुрдП рд╡ाрдпुрдпाрди рдЙрдб़рдХрд░ A рдмिंрджु рдкрд░ рдкрд╣ुँрдЪрддी рд╣ै| рддो AB=?
рд╕рдордХोрдг ABC,
Sin30= AB
AC
1 = AB
2 184
(рдХ्рдпोंрдХि рд╡ाрдпुрдпाрди 184 рдоीрдЯрд░ рдЙрдб़рдХрд░ рдЬाрддी рд╣ै)
2AB=184 =>AB=184/2=92
(ii) рдПрдХ рдкрддंрдЧ рдХी рдбोрд░ी 100 рдоीрдЯрд░ рд▓ंрдмी рд╣ै| рдпрджि рдбोрд░ी рдПрдХ рд╕рд░рд▓ рд░ेрдЦा рдХे рд░ूрдк рдоें рд╣ै| рдПрд╡ं рднूрддрд▓ рдХे рд╕ाрде A рдХोрдг рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рдмрдиाрддी рд╣ै рдХि SinA=8/15 рддो рднूрддрд▓ рдкрддंрдЧ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि рдкрддंрдЧ C рдмिंрджु рдкрд░ A рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддे рд╣ुрдП рдмिंрджु рдкрд░ рдЙрдб़ рд░рд╣ी рд╣ै| рдкрддंрдЧ рдХी рдбोрд░ी рдХी рд▓ंрдмाрдИ=100 рд╣ै|
ABC,
SinA= AB
AC
8 = AB
15 100
15AB=8×100=800
AB=800/15
AB=160/3=53.3
5.(i) AB рдПрдХ рдЙрдз्рд╡ाрд░्рдзрд░ рджीрд╡ाрд░ рд╣ै, рдЬिрд╕рдХा B рднाрдЧ рднूрдоि рдХे рд╕ंрдкрд░्рдХ рдоें рд╣ै| рд╕ीрдв़ी, рдЬрдоीрди рд╕े C рдмिंрджु рдкрд░ рдЯिрдХी рд╣ुрдИ рд╣ै| рдпрджि ACB=60 BC=3 рддो рд╕ीрдв़ी рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдКрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рджीрд╡ाрд░ рд╕े AC рд╕ीрдв़ी рдЯिрдХी рд╣ुрдИ рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
Cos60= BC
AC
1 = 3
2 AC
AC=3×2=6
(ii) рдПрдХ рдордЬрджूрд░ рджीрд╡ाрд░ рдкрд░ рдИंрдЯ рдкрд╣ुँрдЪाрдиे рдХे рд▓िрдП рд╕ीрдв़ी рдкрд░ рдЪрдв़ рд░рд╣ा рд╣ै рдЬिрд╕рдХा рдЙрдкрд░ी рд╕िрд░ा рджीрд╡ाрд░ рд╕े рд╢ीрд░्рд╖ рддрдХ рдкрд╣ुँрдЪाрддा рд╣ै| рджीрд╡ाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ 15 рдоीрдЯрд░ рддрдеा рд╕ीрдв़ी рдХा рднूрдоिрддрд▓ рдХे рд╕ाрде рдмрдиा рдХोрдг 60° рд╣ै| рд╕ीрдв़ी рдХे рдКрдкрд░ी рд╕िрд░े рддрдХ рдЪрдв़рдиे рдХे рд▓िрдП рдордЬрджूрд░ рдж्рд╡ाрд░ा рддрдп рдХी рдЧрдИ рджूрд░ी рдиिрд░्рдзाрд░िрдд рдХрд░ें—–
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рджीрд╡ाрд░ рд╕े AC рд╕ीрдв़ी рд▓рдЧी рд╣ै рдЬो 60 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
sin60= AB
AC
√3 = 15
2 AC
AC= 2×15 = 30 =10√3
√3 √3
(iii) 10 рдоीрдЯрд░ рдКँрдЪा рдПрдХ рдЦंрднे рдХो рд╕ीрдзा рдЦрдб़ा рд░рдЦрдиे рдХे рд▓िрдП рдПрдХ рд╕्рдЯीрд▓ рдХी рддाрд░ рдХा рдПрдХ рд╕िрд░ा рдЦंрднे рдХी рдЪोрдЯी рдХे рд╕ाрде 45° рдХा рдХोрдг рдмрдиाрдпे рддो рддाрд░ рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдЦंрднे рдХो рд╕ीрдзा рдЦрдб़ा рд░рдЦрдиे рдХे рд▓िрдП AC рддाрд░ рдХो C рдмिंрджु рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдХिрдпा рдЧрдпा рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
sin45= AB
AC
1 = 10
√2 AC
AC=10√2=10×1.4140=14.14m=141.14
6.(i) AB рдПрдХ рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рджीрд╡ाрд░ рд╣ै, рдЬिрд╕рдХा B рднाрдЧ рд╕рдорддрд▓ рднूрдоि рдХे рд╕ंрдкрд░्рдХ рдоें рд╣ै| AC рд╕ीрдв़ी рд╣ै, рдпрджि BAC=30 рдФрд░ AC=3 рдоीрдЯрд░ рддो BC рдиिрдХाрд▓े-
Answer::—;:-
рдоाрдиा рдХि AB рджीрд╡ाрд░ рд╕े AC рд╕ीрдв़ी рдЬो 3m рд▓ंрдмी рд╣ै BC=?
Sin30= BC
AC
1 = BC
2 3
BC=3/2=1.5
(ii) рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдЙрд╕рдХे рдкाрдж рд╕े 15 рдоीрдЯрд░ рджूрд░ी рдкрд░ 60 рд╣ै рддो рдоीрдиाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:——
рдоाрдиा рдХि AB рджीрд╡ाрд░ рд╕े 15 рдоीрдЯрд░ рдХी рджूрд░ी рдкрд░ C рдмिंрджु рдХे рд╕ाрде рдХा 60 рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै рддो
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
tan60= AB
AC
√3 = AB
1 15
AC=15×√3=15√3
7.(i) рдирджी рдХो рдкाрд░ рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдХिрд╕ी рд╡्рдпрдХ्рддि рдХो рдкुрд▓ рдХे рдЕрдиुрджिрд╢ рдПрдХ рдХिрдиाрд░े рд╕े рджूрд╕рд░े рдХिрдиाрд░े рддрдХ 236 рдХी рджूрд░ी рддрдп рдХрд░рдиी рдкрдб़рддी рд╣ै| рдпрджि рдирджी рдХे рдХिрдиाрд░े рдХे рд╕ाрде рдкुрд▓ 30 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрдП рддो рдирджी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдиिрдХाрд▓े——
рдЙрдд्рддрд░:——
рдоाрди рдХि BC рдХिрдиाрд░ा рдкुрд▓ рдХे рд╕ाрде 30° рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддा рд╣ै| рдЖрджрдоी рдж्рд╡ाрд░ा рддрдп рдХी рджूрд░ी 236 рдоीрдЯрд░ рддो рдирджी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ BC рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиा рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
Sin30°= AB
AC
1 = AB
2 236
AB=236/2=118
(ii) рдоाрдиा рдХि рдЖрдк рдкुрд▓ рдкрд░ рдЪрдв़рдХрд░ рдХोрдИ рдирджी рдкाрд░ рдХрд░рдиा рдЪाрд╣рддे рд╣ैं| рдкुрд▓ рдирджी рдХे рдХिрдиाрд░े рдХे рд╕ाрде 60 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддा рд╣ै| рдпрджि рдЖрдкрдХो рдирджी рдХे рдХिрдиाрд░े рд╕े рджूрд╕рд░े рдХिрдиाрд░े рддрдХ рдЬाрдиे рдоें 200 рдХी рджूрд░ी рддрдп рдХрд░рдиी рдкрдб़рддी рд╣ै рддो рдирджी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдХ्рдпा рд╣ोрдЧी?
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдкुрд▓ рдХे рд╕ाрде рдХिрдиाрд░ा 60 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рджूрд░ी 200m рд╣ै рддो AB=?
Sin60= AB
AC
√3 = AB
2 200
200√3=2AB
AB= 200√3 =100√3
2
8. рдПрдХ рд╕्рддंрдн рдХी рдЫाрдпा рдХी рд▓ंрдмाрдИ, рд╕्рддंрдн рдХी рдКँрдЪाрдИ рд╕े 1/√3 рдЧुрдиी рд╣ै| рд╕ूрд░्рдп рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдмрддाрдПं–
рдЙрдд्рддрд░:——
рдоाрдиा рдХि AB рд╕्рддंрдн рдХी рдКँрдЪाрдИ x-m рд╣ै рдЗрд╕िрд▓िрдП BC рдЫाрдпा рдХी рд▓ंрдмाрдИ X×1/√3 рддो A=?
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
tanA= AB = x =√3
BC X
√3
tanA=√3
tanA=tan60
A=60
9.(i) рдПрдХ 30 рдоीрдЯрд░ рд▓ंрдмी рд╕ीрдв़ी 15 рдоीрдЯрд░ рдКंрдЪी рджीрд╡ाрд░ рдХे рд╕рд╣ाрд░े рдЗрд╕ рддрд░рд╣ рд╕े рдЦрдб़ी рд╣ै рдХि рдЙрд╕рдХा рдЙрдкрд░ी рд╕िрд░ा рджीрд╡ाрд░ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХो рд╕्рдкрд░्рд╢ рдХрд░ рд░рд╣ा рд╣ै| рд╕ीрдв़ी рднूрдоिрддрд▓ рдХे рд╕ाрде рдХिрддрдиा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рд╕рдХाрд░рдг рд▓िрдЦे-
рдЙрдд्рддрд░:——
рдоाрдиा рдХि AB рджीрд╡ाрд░ рд╕े AC рд╕ीрдв़ी рд▓рдЧी рд╣ै рдЬिрд╕рдХी рд▓ंрдмाрдИ 30m рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
SinA= AB
AC
SinA= 15
30
SinA= 1
2
SinA=Sin30
A=30°
(ii) рдПрдХ рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рд╕्рддंрдн 2√3 рдКंрдЪा рд╣ै, рддрдеा рдЙрд╕рдХी рдкрд░рдЫाрдИ рдХी рд▓ंрдмाрдИ 2 рдоीрдЯрд░ рд╣ै| рдк्рд░рдХाрд╢ рд╕्рд░ोрдд рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рдпा рд╣ोрдЧा? рд╕рдХाрд░рдг рд▓िрдЦे-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рд╕्рддंрдн рдХी рдкрд░рдЫाрдИ BC рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
tanA= AB
BC
tanA= 2√3
2
tanA=√3
tanA=tan60
A=60
10. рднूрдоि рдХे рдХिрд╕ी рдмिंрджु рд╕े рдПрдХ рдкрддंрдЧ рдХी рддрдиी рд╣ुрдИ рдбोрд░ी рдХी рд▓ंрдмाрдИ 85 рдоीрдЯрд░ рд╣ै| рдпрджि рднूрдоिрддрд▓ рдХे рд╕ाрде рдбोрд░ी рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рдмрдиाрдП рдХी tanA=15/8 рд╣ो рддो рдкрддंрдЧ рдХिрддрдиी рдКंрдЪाрдИ рдкрд░ рдЙрдб़ рд░рд╣ी рд╣ै|
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдКंрдЪाрдИ рдкрд░ рдкрддंрдЧ рдЙрдб़ рд░рд╣ी рд╣ै, рдкрддंрдЧ рдХी рдбोрд░ी рдХी рд▓ंрдмाрдИ AC=85m, AB=?
tanA=15/8
AC=√(AB)2+(BC)2=√(15)2+(8)2
√225+64=√289=17
SinA= AB = 15
AC 17
In ABC,
SinA= AB
AC
15 = AB
17 85
AB= 85×15 =5×15=75
17
11. 1.5m рд▓ंрдмा рдПрдХ рдЖрджрдоी рдПрдХ рдкेрдб़ рдХी рдЪोрдЯी рдХो рджेрдЦрддा рд╣ै рдФрд░ рдЪोрдЯी рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдЙрд╕рдХी рдЖंрдЦ рдкрд░ 60 рд╣ै рддो рдкेрдб़ рдХी рдКंрдЪाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें рдпрджि рдкेрдб़ рд╕े рдЖрджрдоी рдХी рджूрд░ी 36 рдоीрдЯрд░ рд╣ै|
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB=1.5m рдКंрдЪाрдИ рдХी рдПрдХ рдЖрджрдоी рд╣ै рдЬो рд╕ीрдзा рдЦрдб़ा рд╣ोрдХрд░ CE рдкेрдб़ рдХी рдЪोрдЯी рдкрд░ рджेрдЦрддा рд╣ै рдЬिрд╕े рдЖंрдЦ рдкрд░ 60 рдХा рдХोрдг рдмрдирддा рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг EDB рдоें
tan60°= ED
DB
√3= ED
36
ED=36×√3=36×1.732=62.352
рдкेрдб़ рдХी рдКंрдЪाрдИ=1.5+62.352=63.852
12. рд╣рд╡ा рдХे рдЭोंрдХे рд╕े рдкेрдб़ рдХी рдЙрдкрд░ी рднाрдЧ рдЯूрдЯрдХрд░ 2√3 рдоीрдЯрд░ рдХी рджूрд░ी рдкрд░ 60° рдХे рдХोрдг рдкрд░ рдЬрдоीрди рдХो рдЫूрддा рд╣ै рддो рдкेрдб़ рдХी рдкрд╣рд▓ी рдКंрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि DB рдкेрдб़ рд╣ै| рдЬिрд╕рдХा AD рднाрдЧ рдЯूрдЯрдХрд░ C рдмिंрджु рдкрд░ рдЬрдоीрди рдХे рд╕ाрде 60° рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै рддो BD рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓рдиा рд╣ै|
ABC,
tan60= h
2√3
√3= h
2√3
h=√3×2√3=6
Again ABC,
AC=√(AB)2+(BC)2=√(6)2+(2√3)2
√36+12=√48=6.93
рдкेрдб़ рдХी рдкрд╣рд▓ी рдКंрдЪाрдИ=6+6.93=12.93
13.(i) рднूрдоि рдХे рдХिрд╕ी рдмिंрджु рд╕े рдХिрд╕ी рдоिрдиाрд░ рдХी рдЪोрдЯी рдХा рдЙрди्рдирддांрд╢ 30 рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рдХी рдУрд░ 30 рдоीрдЯрд░ рдмрдв़рдиे рдкрд░ рдЪोрдЯी рдХा рдЙрди्рдирддांрд╢ 60 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो рдоीрдиाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рд╣ै рдЬिрд╕рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирддांрд╢ рдХोрдг рдмिंрджु рд╕े 30 рддрдеा C рдмिंрджु рд╕े рд╣ै| рддो AB=?
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
tan60= AB
BC
√3= h
x
h=√3x ———(1)
tan30= AB
BD
1 = h
√3 x+30
h√3=x+30
h= x+30
√3
Put the value of h in eq (1)
h=√3x
x+30 =√3x
√3
x+30=x×√3x
3x=x+30
3x-x=30
2x=30 x=30/2=15
h=√3x=√3×15=15√3
(ii) рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рдЕрдкрдиी рдЬрдб़ рдХी рд╕рддрд╣ рдХे рдХिрд╕ी рдмिंрджु рдкрд░ 60 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै, рдЙрд╕ рдмिंрджु рд╕े 20 рдкीрдЫे рд╣рдЯрдиे рдкрд░ рд╡рд╣ 30 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि AB рдоीрдиाрд░ рд╕े C рдмिंрджु рдХी рдЙрди्рдирддि рдХोрдг 60 рд╣ै рддрдеा D рдмिंрджु рд╕े рдЙрди्рдирддि рдХोрдг рд╣ै рддो AB=?
рдоाрдиा рдХि BC=X рддрдеा AB=h
ABC,
tan60= AB
BC
√3= h
x
h=√3x ———-(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = h
√3 x+20
√3h=x+20
h= x+20
√3
Put the value of h in eq (1)
h=√3x
x + 20 = x√3
√3 1
x+20=3x
20=3x-x 2x=20 x=20/2=10
h=√3x=√3×10=10√3
14.(i) 20 рдКंрдЪे рдоीрдиाрд░ рдХी рдПрдХ рдЭंрдбा рдЧрдб़ा рд╣ै| рдЬрдоीрди рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдПрдХ рдмिंрджु рдЭंрдбे рдХे рдкाрдж рдФрд░ рд╢ीрд░्рд╖ рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 45 рдФрд░ 60 рд╣ै рддो рдЭंрдбे рдХे рдЦंрднे рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдоाрд▓ूрдо рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
Answer:——
рдоाрдиा рдХि BD рдоीрдиाрд░ рдкрд░ AD рдЭंрдбा рдЧрдб़ा рд╣ै| BD 20 рдоीрдЯрд░ рддो AB=? AD=h рдоीрдЯрд░ рдоाрдиा рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
tan60= AB
BC
√3= 20+h
BC
BC×√3=20+h
BC= 20+h
√3
DBC,
tan45= DB
BC
1= 20
BC
BC=20
Put the value of BC=20 in eq (1)
BC= 20+h
√3
20= 20+h
√3
20√3=20+h
h=20√3-20=20(√3-1)=20(1.732-1)
20×0.732=14.64
(ii) рдХिрд╕ी рдоीрдиाрд░ рдкрд░ 10 рдоीрдЯрд░ рд▓ंрдмा рдПрдХ рдЭंрдбा рдЦрдб़ा рд╣ै| рдЬрдоीрди рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдПрдХ рдмिंрджु рд╕े рдЭंрдбे рдХे рдкाрдж рдФрд░ рд╢ीрд░्рд╖ рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 6реж рд╣ै| рддो рдоीрдиाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े—-
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि BD рдоीрдиाрд░ рдкрд░ 10m рд▓ंрдмा рдЭंрдбा рдЦрдб़ा рд╣ै| рдоाрдиा BD=hрдоीрдЯрд░ рд╕рдордХोрдг DBC рдоें
tan30= BD
BC
1 = h
√3 BC
BC=h√3 —–(1)
ABC,
tan60= AB
BC
√3= 10+h
BC
BC×√3=10+h
BC= 10+h
√3
Put the value of BC in eq (1)
10+h =h√3
√3
10+h=h√3×√3
10+h=3h
3h-h=10 2h=10 h=10/2=5
(iii) рднूрдоि рдкрд░ рдПрдХ рдмिंрджु рд╕े, рдКंрдЪे рдПрдХ рднрд╡рди рдХी рдЪोрдЯी рдФрд░ рдПрдХ рд╣ेрд▓ीрдХॉрдк्рдЯрд░, рдЬो рднрд╡рди рдХी рдЪोрдЯी рдХे рдаीрдХ рдЙрдкрд░ рдХुрдЫ рдКंрдЪाрдИ рдкрд░ рдЬा рд░рд╣ा рд╣ै, рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 30 рдФрд░ 60 рд╣ै| рднूрдоि рд╕े рд╣ेрд▓ीрдХॉрдк्рдЯрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдоाрд▓ूрдо рдХрд░ें—
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि BD рдЫрдд рд╕े C рдмिंрджु рдкрд░ 30 рддрдеा A рд╕े рд╣ेрд▓ीрдХॉрдк्рдЯрд░ рдФрд░ C рдмिंрджु рдХा рдХोрдг рд╣ै 60| рддो
AD=?
рд╕рдордХोрдг DBC рдоें,
tan30= BD
BC
1 = 10
√3 BC
BC=10√3
ABC,
tan60= AB
BC
√3= h +13
BC
BC×√3=h+13
BC= h+13
√3
Put the value of BC in eq (1)
10√3 = 10+h
√3
10√3×√3=10+h
10×3=30=10+h h=30-10=20
Height of helicopter=20+10=30
15. рдПрдХ рд╣рд╡ाрдИ рдЬрд╣ाрдЬ рд╕े рдаीрдХ рджाрдПं рдФрд░ рдмाрдПँ рдирджी рдоें рджो рдЬрд╣ाрдЬों рдХे рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рдФрд░ 45 рд╣ै| рдпрджि рджोрдиों рдЬрд╣ाрдЬों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी 1 рдХिрд▓ोрдоीрдЯрд░ рд╣ो рддो рд╣рд╡ाрдИ рдЬрд╣ाрдЬ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि A рдмिंрджु рдкрд░ рд╣рд╡ाрдИ рдЬрд╣ाрдЬ рдЙрдб़ рд░рд╣ी рд╣ै рдЬिрд╕рдХे C рджाрдПं рдФрд░ B рдмिंрджुрдУं рдкрд░ рджो рдЬрд╣ाрдЬ рд╣ै рдЬिрдирдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी рдПрдХ рдХिрд▓ोрдоीрдЯрд░ рд╣ै|
ADC,
tan45= AD
DC
1= AD
1-x
AD=1-x ———-(1)
ADB,
tan60= AD
BD
√3= AD
x
AD=√3x ———(2)
From eq (1) &(2)
√3x=1-x
x√3+x=1
x(√3+1)=1
x= 1
√3+1
AD=√3x=√3× 1 = √3
√3+1 √3+1
16.(i) рджो рд╡्рдпрдХ्рддि рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рд╕े рд╡िрдкрд░ीрдд рджिрд╢ा рдоें рд╣ै| рд╡े рдоीрдиाрд░ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 30 рдФрд░ 45 рд╣ै| рдпрджि рдоीрдиाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ 35 рд╣ो рддो рдЙрди рджोрдиों рд╡्рдпрдХ्рддिрдпों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि AC 35 рдКँрдЪा рдоीрдиाрд░ рд╣ै рдЬिрд╕рдХे рд╡िрдкрд░ीрдд B рддрдеा C рдмिंрджु рдкрд░ рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 45 рдФрд░ 30 рд╣ै рддो BD=?
ABC,
tan45= AC
BC
1= 35
BC
BC=35 ——-(1)
ACD,
tan30= AC
CD
1 = 35
√3 CD
CD=35√3=35×1.732=60.62
Distance=BC+CD=35+60.63=95.62
(ii) 50 рдоीрдЯрд░ рдКँрдЪा рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рдХे рдЖрдзाрд░ рддрдХ рдПрдХ рд╕рдб़рдХ рд╕ीрдзी рдЬाрддी рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рдХी рдЪोрдЯी рд╕े рд╕рдб़рдХ рдкрд░ рдПрдХ рд╣ी рд╕ीрдзा рдоें рдЦрдб़ी рджो рдХाрд░ों рдХे рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 60 рдФрд░ 30 рд╣ै| рджोрдиों рдХाрд░ों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि рдПрдХ рд▓ंрдмी рдоीрдиाрд░ рд╣ै| рдЬिрд╕рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдмिंрджु рд╕े рддрдеा рдмिंрджुрдУं рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдХाрд░ों рдХे рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рдФрд░ 30 рд╣ै рддो CD=?
рд╕рдордХोрдг ABC,
tan60= AB
BC
√3= 50
BC
BC= 50 ———(1)
√3
рд╕рдордХोрдг ∆ABD,
tan30= AB
BD
1 = 50
√3 BD
BD=50√3
CD=BD-C=50√3- 50 = 50√3×√3-50
√3 √3
50×3-50 = 150-50 = 100
√3 √3 √3
100 = 100000 =57.7
1.732 1732
17.(i) рдПрдХ рдШрд░ рдкрд░ рд╕ीрдв़ी рд▓рдЧी рд╣ै рдФрд░ рд╕ीрдв़ी рдХे рд╕िрд░े рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рд╣ै|рд╕ीрдв़ी рдкрд▓рдЯ рджी рдЬाрддी рд╣ै рдЬिрд╕рд╕े рд╡े рдЧрд▓ी рдХे рджूрд╕рд░े рдХिрдиाрд░े рдХे рдПрдХ рдШрд░ рд╕े рдЬा рд▓рдЧрддी рд╣ै| рдФрд░ рдЗрд╕ рджрд╢ा рдоें рд╕िрд░े рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 60 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै| рдпрджि рд╕ीрдв़ी 30 рдоीрдЯрд░ рд▓ंрдмी рд╣ो рддो рдЧрд▓ी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि CD рд╕ीрдв़ी DE рджीрд╡ाрд░ рд╕े рд▓рдЧी рд╣ै рдЬрдм рдЗрд╕े рдкрд▓рдЯ рджी рдЬाрддी рд╣ै рддो рдХोрдг 60 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो BE=?
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
cos60= BC
AC
1 = BC
2 30
BC=30/2=15
DCE,
cos60= CE
CD
√3 = CE
2 30
CE= 30×√3 =15√3
2
рдЧрд▓ी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ=BC+CE=15+15√3=15(1+√3)
15(1+1.732)=15×2.732=40.980
(ii) рдПрдХ 8 рдоीрдЯрд░ рд▓ंрдмी рд╕ीрдв़ी рдХिрд╕ी рдШрд░ рдХी рджीрд╡ाрд░ рд╕े рд▓рдЧी рд╣ै рдФрд░ рджीрд╡ाрд░ рдХे рд╕ाрде 30 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рд╕ीрдв़ी рдХो рдкрд▓рдЯ рдХрд░ рдЧрд▓ी рдХे рджूрд╕рд░े рдХिрдиाрд░े рдХे рдШрд░ рд╕े рд▓рдЧाрдиे рдкрд░ рдЙрдХ्рдд рдХोрдг 45 рдХा рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै| рдЧрд▓ी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AE рд╕ीрдв़ी рдЬो 8m рд▓ंрдмी рд╣ै AB рджीрд╡ाрд░ рд╕े рд▓рдЧी рд╣ै рдЬрд╣ाँ рдХोрдг 30 рд╣ै рдЙрд╕ी рд╕ीрдв़ी рдХो рдЙрд▓рдЯрдХрд░ CD рджीрд╡ाрд░ рд╕े рд▓рдЧा рджी рдЬाрддी рд╣ै рдЬिрд╕рд╕े рдХोрдг 45 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो BD=?
рд╕рдордХोрдг ABE рдоें
cos30= BE
AE
√3 = BE
2 8
2BE=8√3
BE=8√3/2=4√3=4×1.732=6.928
рд╕рдордХोрдг CED рдоें
cos45= ED
CE
1 = ED
√2 8
ED= 8 × √2 = 8√2 =4√2
√2 √2 2
4×1.414=5.656
рдЧрд▓ी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ= BE+ED=6.928+5.656=12.584
18. рдПрдХ рд▓ंрдмा рд╡ृрдХ्рд╖ рдирджी рдХे рдХिрдиाрд░े рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рдЦрдб़ा рд╣ै рдЬिрд╕рдХी 10√3 рд╕ाрдордиे рдХिрдиाрд░े рдХे рдХिрд╕ी рд╕्рдеाрди рд╕े рд╡ृрдХ्рд╖ рдХी рдЪोрдЯी рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 60 рд╣ै| рдЙрд╕ी рд╕ीрдзा рдоें рдХिрддрдиी рджूрд░ी рдкीрдЫे рд╣рдЯрдиे рдкрд░ рд╡ृрдХ्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рд╣ो рдЬाрдпेрдЧा|
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि AB рд╡ृрдХ्рд╖ рд╕े C рдмिंрджु рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 60 рд╣ै| рддрдеा D рдмिंрджु рддрдХ рдкीрдЫे рд╣рдЯрдиे рдкрд░ рдХोрдг 30 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
tan60= AB
BC
√3= 10√3
BC
BC= 10√3 =10
√3
рд╕рдордХोрдг ABD рдоें,
tan30= AB
BD
1 = 10√3
√3 BD
BD=10√3×√3=10×3=30
CD=BD-BC=30-10=20
19. рдПрдХ рдкрд╣ाрдб़ी рдХी 100 рдоीрдЯрд░ рдКрдЪी рдЪोрдЯी рд╕े рджेрдЦрдиे рдкрд░ рдкрд╣ाрдб़ рдХी рдУрд░ рдЖ рд░рд╣े рджो рд╡्рдпрдХ्рддिрдпों рдХे рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 30 рдФрд░ 45 рдкाрдпे рдЬाрддे рд╣ैं| рдпрджि рджोрдиों рдПрдХ рджूрд╕рд░े рдХे рдаीрдХ рдкीрдЫे рд╣ो рддो рдЙрдирдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ 100 рдКрдЪी рдкрд╣ाрдб़ рд╣ै рдЬिрд╕рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдмिंрджु A рд╕े C рддрдеा D рдмिंрджु рдкрд░ рдЖ рд░рд╣े рджो рд╡्рдпрдХ्рддिрдпों рдХे рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 45 рдФрд░ 30 рд╣ै рддो CD=?
ABC,
tan45= AB
BC
1= 100
BC
BC=100 ——(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = 100
√3 BD
BD=100√3
CD=BD-BC=100√3-100=100(√3-1)
100(1.732-1)=100×0.732=73.2
20. рдЬрдм рд╕ूрд░्рдп рдХी рдКँрдЪाрдИ 60 рд╕े рдмрдв़рдХрд░ 30 рд╣ो рдЬाрддी рд╣ै рддो рддो рдП рдмूрд░्рдЬ рдХी рдЫाрдпा 45 рдмрдв़ рдЬाрддी рд╣ै рддो рдмूрд░्рдЬ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдоाрд▓ूрдо рдХрд░ें—-
рдоाрдиा рдХि 60 рдХोрдг рдкрд░ рдмूрд░्рдЬ рдХी рдЫाрдпा BC рд╣ै рдЬрдм рдХोрдг 30 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो рдЫाрдпा 45m рдмрдв़ рдЬाрддा рд╣ै рддो
ABC,
tan60= AB
BC
√3= AB
BC
AB=BC√3 ——-(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = AB
√3 BC+45
BC+45=AB√3 ———(2)
Put the value of AB in eq (2)
BC+45=BC√3×√3
BC+45=3BC
3BC-BC=45
2BC=45
BC=45/2=22.5
AB=BC√3=22.5×1.732=38.97
21.(i) рд╕рдоाрди рдКँрдЪाрдИ рдХे рджो рдЦंрднे рдП рджूрд╕рд░े рд╕े 64 рдоीрдЯрд░ рдХी рджूрд░ी рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рд╣ै| рдЙрдирдХी рдЬрдб़ों рдХो рдоिрд▓рдиे рд╡ाрд▓ी рд░ेрдЦा рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдХिрд╕ी рдмिंрджु рд╕े рдЦंрднों рдХे рд╕िрд░ों рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рдПрд╡ं 60 рд╣ै рддो рдЦंрднों рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:——
рдоाрдиा рдХि AB рддрдеा CD рд╕рдоाрди рдКँрдЪाрдИ рдХे рджो рдЦंрднे рд╣ै рдЬिрд╕рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी 64M рд╣ै|
рдоाрдиा рдХि BE=X
ED=64-X
ABE,
tan30= AB
BE
1 = AB
√3 x
AB= x ——–(1)
√3
CDE,
tan60= CD
ED
√3= CD
64-x
CD=64√3-√3x
From eq(1),
64√3-√3x= x
√3
64√3= x +√3x
√3
64√3= x+√3x×√3
√3
64√3×√3=x+3x=4x
192=4x x=192/4=48
AB= x = 48√3 =16√3
√3 3
(ii) 80 рдоीрдЯрд░ рдЪौрдб़ी рд╕рдб़рдХ рдХे рджोрдиों рдУрд░ рдЖрдордиे рд╕ाрдордиे рд╕рдоाрди рд▓ंрдмाрдИ рд╡ाрд▓े рджो рдЦंрднे рд▓рдЧे рд╣ुрдП рд╣ैं| рдЗрди рджोрдиों рдЦंрднों рдХे рдмीрдЪ рд╕рдб़рдХ рдХे рдПрдХ рдмिंрджु рд╕े рдЦंрднों рдХे рд╢िрдЦрд░ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 60 рдФрд░ 30 рд╣ै| рдЦंрднों рдХी рдКँрдЪाрдИ рдФрд░ рдЦंрднों рд╕े рдмिंрджु рдХी рджूрд░िрдпाँ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рддрдеा DE рджो рд╕рдоाрди рдКँрдЪाрдИ рдХे рдЦंрднे рд╣ै рдЬो рд╕рдб़рдХ C рдмिंрджु рдкрд░ рдХ्рд░рдорд╢ः 60 рдФрд░ 30 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддे рд╣ैं|BE=80M
BC=X,
рдоाрдиा рдЗрд╕िрд▓िрдП CD=80-X
ABC рдоें,
tan60= AB
BC
√3= AB
x
AB=√3x ——(1)
DEC,
tan30= DE
CE
1 = DE
√3 80-x
DE×√3=80-x
DE= 80-x x√3= 80-x
√3 √3
x√3×√3=80-x 3x=80-x
3x+x=80 4x=80 x=80/4=20
AB=√3x=√3×20=20√3
BC=x=20
CE=80-x=80-20=60
22. рдПрдХ рдЙрджрдЧ्рд░ рдЦंрднे рдХे рдЙрдкрд░ рдХा рднाрдЧ рд╕рдлेрдж рдПрд╡ं рдиिрдЪрд▓ा рднाрдЧ рдХाрд▓ा рд╣ै| рдЬрдоीрди 10 рдоीрдЯрд░ рдХी рджूрд░ी рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдПрдХ рдмिंрджु рдкрд░ рджोрдиों рднाрдЧ 30 рдХोрдг рдмрдиाрддे рд╣ैं рддो рд╕рдлेрдж рднाрдЧ рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ рдЙрджрдЧ्рд░ рдЦंрднा рд╣ै рдЬिрд╕рдХा AD рднाрдЧ рд╕рдлेрдж рддрдеा BD рднाрдЧ рдХाрд▓ा рд╣ै|
DCB=ACB=30 AD=?
ADC,
tan30= DB
BC
1 = DB
√3 10
DB×√3=10 DB= 10
√3
ABC,
tan60= AB
BC
√3= AB
10
AB=10√3
AD=AB-BD=10√3 – 10 = 10×√3×√3-10
√3 √3
10×3-10 = 30-10 = 20000 =11.55
√3 1.732 1732
23.(i) рдПрдХ рдЙрджрдЧ्рд░ рдмांрд╕ рдкрд░ рдХे рдХिрд╕ी рд╕्рдеाрди рд╕े рдПрдХ рдмंрджрд░ рдкाрддा рд╣ै рдХि рдЬрдоीрди рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдПрдХ рд╡рд╕्рддु рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 30 рд╣ै| рдмंрджрд░ рдмांрд╕ рдкрд░ 8 рдФрд░ рдЪрдв़ рдЬाрдиे рдкрд░ рд╡рд╕्рддु рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 45 рдкाрддा рд╣ै рддो рдмांрд╕ рдХी рдЬрдб़ рд╕े рд╡рд╕्рддु рдХी рджूрд░ी рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि рдЙрджрдЧ्рд░ рдмांрд╕ AB рдХे D рдмिंрджु рдкрд░ рд╕े рдмंрджрд░ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рд╣ै| рддрдеा 8 рдЙрдкрд░ рдпाрдиि A рдмिंрджु рдкрд░ рдЪрдв़рдиे рдХे рдмाрдж рдХोрдг 45 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो BC=? BC=X рддрдеा BD=H
рдоाрдиा рд╕рдордХोрдг DBC рдоें,
tan30= DB
BC
1 = h
√3 x
x=√3h ——–(1)
ABC,
tan45= AB
BC
1= 8+h
x
x=8+h ——–(2)
From eq (1)+(2)
√3h=8+h
√3h-h=8
h(√3-1)=8
h= 8
√3-1
x=√3h=√3× 8 = 1.732×8
√3-1 1.732-1
13.856 = 13856 =18.92
732 732
(ii) рдПрдХ рдкेрдбрд╕्рдЯрд▓ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдкрд░ 1.6 рдоीрдЯрд░ рдКँрдЪी рдоूрд░्рддि рд▓рдЧी рд╣ै| рдЬрдоीрди рдХे рдПрдХ рдмिंрджु рд╕े рдоूрд░्рддि рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 60 рд╣ै рдФрд░ рдЙрд╕ी рдмिंрджु рд╕े рдкेрдбрд╕्рдЯрд▓ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 45 рд╣ै| рдкेрдбрд╕्рдЯрд▓ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдоाрд▓ूрдо рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:——-
рдоाрдиा рдХि BD рдкेрдбрд╕्рдЯрд▓ рдкрд░ AD рдоूрд░्рддि рдЬो 1.6 рд▓ंрдмी рд╣ै| рд╕्рдеिрдд рд╣ै| D рдмिंрджु рд╕े рд╡рд╕्рддु рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 45 рддрдеा A рдмिंрджु рд╕े 60 рд╣ै рддो BD=?
рд╕рдордХोрдг DBC рдоें,
tan45= DB
BC
1= h
x
x=h —-(1)
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
tan60= AB
BC
√3= 1.6+h
x
x×√3=1.6+h
h√3=1.6+h
h√3-h=1.6
h(√3-1)=1.6
h(1.732-1)=1.6
h×0.732=1.6
h= 1.6 = 1600 =2.18
0.732 732
24. рдирджी рдХे рдХिрдиाрд░े 200√3 рдКँрдЪाрдИ рдХे рдПрдХ рдкрд╣ाрдб़ рд╕े рдПрдХ рд╡्рдпрдХ्рддि рдЙрд╕ी рджिрд╢ा рдоें рдЖрддे рд╣ुрдП рдПрдХ рдЬрд╣ाрдЬ рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 30 рдкाрддा рд╣ै| 2 рдоिрдирдЯ рдХे рдмाрдж рдЬрд╣ाрдЬ рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो рдЬрд╣ाрдЬ рдХा рд╡ेрдЧ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB 200√3m рдКँрдЪा рдкрд╣ाрдб़ рд╣ै рдЬिрд╕рдкрд░ рдмैрдаा рд╣ुрдЖ рд╡्рдпрдХ्рддि D рдмिंрджु рд╕े рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 30 рдкाрддा рд╣ै рддрдеा C рдмिंрджु рд╕े рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै| рддो рдЪाрд▓ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
tan60= AB
BC
√3= 200√3
BC
BC×√3=200√3
BC= 200√3 =200
√3
рд╕рдордХोрдг ABD рдоें,
tan30= AB
BD
1 = 200√3
√3 BD
BD=200√3×√3=200×3=600
CD=BD-BC=600-200=400
2 рдоिрдирдЯ рдоें рдЬрд╣ाрдЬ 400 рдоी рдХी рджूрд░ी рддрдп рдХрд░рддी рд╣ै|
1 ———- 400/2 =200
25. 15 рд╕ेрдоी рдКंрдЪे рд╕्рддंрдн рдкрд░ 30 рд╕ेрдоी рдКंрдЪी рдПрдХ рдоूрд░्рддि рдЦрдб़ी рд╣ै| рд╕्рддंрдн рдХी рдЬрдб़ рд╕े 15√3 рдХी рджूрд░ी рдкрд░ рдоूрд░्рддि рдХिрддрдиे рдЕंрд╢ рдХा рдХोрдг рдмрдиाрдпेрдЧी|
рдЙрдд्рддрд░:—
рдоाрдиा рдХि BD рдЖрдзाрд░ рдкрд░ рдоूрд░्рддि рд╕्рдеिрдд рд╣ै рдЬिрд╕рдХी рдКंрдЪाрдИ рдХ्рд░рдорд╢ः 15 рдФрд░ 30 рд╣ै| BC=15√3
DBC,
tanA= DB
BC
tanA= 15
15√3
tanA= 1
√3
tanA=tan30
A=30
26. 100m рдЪौрдб़ी рдПрдХ рдирджी рдоें рдПрдХ рдЯाрдкू рд╣ै| рдФрд░ рдЗрд╕рдкрд░ рдПрдХ рдКंрдЪा рд╡ृрдХ्рд╖ рд╣ै| рдирджी рдХे рд╡िрдкрд░ीрдд рджिрд╢ा рдоें рджो рдмिंрджु C рдФрд░ D рдХे рд╕ीрдзे рдоें рд╣ै| рдпрджि P рдФрд░ Q рд╕े рд╡ृрдХ्рд╖ рдХी рдЪोрдЯी рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 30 рдФрд░ 45 рд╣ै рддो рд╡ृрдХ्рд╖ рдХी рдКंрдЪाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░ें-
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि рдоीрдЯрд░ CD=100M
рдЪौрдб़ी рдирджी рд╣ै рдЬिрд╕рдоें AB рдЯाрдкू рдХे A рдмिंрджु рд╕े C рдмिंрджु рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рддрдеा D рдмिंрджु рд╕े рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 45 рд╣ै| рддो AB=?
ABD,
tan45= AB
BD
1= AB
x
AB=x ——-(1)
ABC,
tan30= AB
BC
1 = AB
√3 100-x
AB×√3=100-x
x√3=100-x
x√3+x=100 x(√3+1)=100
x(1.732+1)=100 x(2.732)=100
x= 100 = 100000 =36.5
2.732 2732
27. рдПрдХ рд╣ी рдХ्рд╖ैрддिрдЬ рддрд▓ рдкрд░ рд▓ंрдмрд╡рдд् рдЦрдб़े рдПрдХ рд╡ृрдХ्рд╖ рдФрд░ 50 рдоी рдКंрдЪी рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рдХे рдкाрдж рд╕े рд╡ृрдХ्рд╖ рдХी рдЪोрдЯी рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рдФрд░ рдоीрдиाрд░ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рд╕े рд╡ृрдХ्рд╖ рдХे рдкाрдж рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рд╣ै| рддो рд╡ृрдХ्рд╖ рдХी рдКंрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ рд╡ृрдХ्рд╖ рддрдеा рд▓ंрдмी рдоीрдиाрд░ рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рд╕े рд╡ृрдХ्рд╖ рдХे рдкाрдж рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рддрдеा рдоीрдиाрд░ рдХे рдкाрдж рд╕े рд╡ृрдХ्рд╖ рдХी рдЪोрдЯी рдХा рдЙрди्рдирддि рдХोрдг 30 рд╣ै| рддो AB=?
ABC,
tan30= AB
BC
1 = AB
√3 BC
BC=AB√3 ——(1)
CDB,
tan60= CD
BC
√3= 50
BC
BC= 50
√3
Put the value of BC in eq (1)
50 = AB√3
√3
50=√3×√3×AB=3AB
AB= 50
3
28.(i) рдПрдХ рд╣ी рдХ्рд╖ैрддिрдЬ рддрд▓ рдкрд░ рдЦрдб़ी рдПрдХ рджीрд╡ाрд░ рдФрд░ 50 рдоीрдЯрд░ рд▓ंрдмी рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рдХी рдЪोрдЯी рд╕े рджीрд╡ाрд░ рдХे рдкाрдж рдФрд░ рд╢ीрд░्рд╖ рдХे рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 45° рдФрд░ 30 рд╣ै| рджीрд╡ाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ 50M рд▓ंрдмी рдоीрдиाрд░ рд╣ै рдЬिрд╕рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рд╕े рджीрд╡ाрд░ CD рдХे рдкाрдж рдФрд░ рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 45 рдФрд░ 30 рд╣ै рддो
рдкुрдиः рдоाрдиा рдХि CD=BE=X рдоाрдиा
ABC,
tan45= AB
BC
1= 50
BC
BC=50
AED,
tan30= AE
ED
1 = 50-X
√3 ED
ED=√3(50-X) 50=√3(50-X)
50 =50-X
√3
x=50- 50 = 50 – 50
√3 1.732
50 – 50000 =50-28.87=21.13
1732
29. рдХोрдИ рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рдоीрдиाрд░ 10 рдоी рдКंрдЪे рдЭंрдбे рдХे рдЦंрднे рдХी рдЪोрдЯी рдкрд░ рд╕рдордХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рдпрджि рдЙрдирдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी 20 рдоी рд╣ो рддो рдоीрдиाрд░ рдХी рдКंрдЪाрдИ рдоाрд▓ूрдо рдХрд░ें–
рдЙрдд्рддрд░:—
рдоाрдиा рдХि ABC рдПрдХ рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рдоीрдиाрд░ рд╣ै рдЬो PQ 10M рдКंрдЪे рдЭंрдбे рдХे рдЦंрднे рдХी рдЪोрдЯी рдкрд░ рд╕рдордХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рдЭंрдбे рд╕े рдоीрдиाрд░ рдХी рджूрд░ी 20 M рд╣ो рддो рдХी рдКंрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓рдиा рд╣ै|
Q рд╕े QR рдкрд░ AB рдЦींрдЪा рдоाрдиा рдХि
AB=h рдЪिрдд्рд░ рд╕े рд╕्рдкрд╖्рдЯ рд╣ै рдХि RA=QP=10m рддрдеा QR=PA=20m
рдоाрдиा рдХि AQR=Q рддो BQR=90-@
RQA, tanA= RA = 10 —–(1)
RQ 20
BQR, tan(90-A)= BR = h-10
QR 20
CotA= h-10 ——–(2)
20
From eq (1)×(2)
tanA×CotA= 10 × ( h-20)
20 20
1= 10h – 200
400
10h-100=400; 10h=400+100=500
h=500/10=50
30. рдПрдХ рдШрд░ рд╕рдб़рдХ рдХे рджूрд╕рд░े рдУрд░ рдЕрдкрдиे рд╕्рдеिрдд рдХिрд╕ी рд╕्рддंрдн рдХे рд╕िрд░े рдкрд░ рд╕рдордХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै рддрдеा рд╡рд╣ рд╕рд░рд▓ рд░ेрдЦा рдЬो рд╕्рддंрдн рдХो рдШрд░ рдХे рд╕िрд░े рд╕े рдоिрд▓ाрддी рд╣ै, рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рджिрд╢ा рдоें 60 рдХा рдХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै| рдпрджि рд╕рдб़рдХ рдХी рдЪौрдб़ाрдИ 45 рдоी рд╣ो рддो рдШрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े–
рдЙрдд्рддрд░:—
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ рдШрд░ рд╣ै рдЬो CD рд╕्рддंрдн рдХे рд╕िрд░े рдкрд░ рд╕рдордХोрдг рдмрдиाрддी рд╣ै рдХोрдг ADE=60°
рдЕрдм рд╕рдордХोрдг ADE рдоें
tan60= AE
ED
√3= AE
45
AE=45√3
рд╕рдордХोрдг DEB рдоें
tan30= BE
DE
1 = BE
√3 45
BE= 45 =15√3
√3
рдШрд░ рдХी рдЪौрдб़ाрдИ=45√3+15√3=60√3
31. рдПрдХ рдоीрдиाрд░ рдкрд░ рдз्рд╡рдЬрдбंрдб рдЦрдб़ा рд╣ै| рдоीрдиाрд░ рд╕े 10 рдоी рджрд░ рдЬрдоीрди рдкрд░ рдоीрдиाрд░ рдФрд░ рдз्рд╡рдЬрдбंрдб рдХ्рд░рдорд╢ः 45 рдФрд░ 15 рдХे рдХोрдг рдмрдиाрддे рд╣ैं| рддो рдз्рд╡рдЬрдбंрдб рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि BD рдоीрдиाрд░ рдкрд░ AD рдЭंрдбा рдЦрдб़ा рд╣ै| D рд╕े рдФрд░ A рд╕े рдХ्рд░рдорд╢ः C рдмिंрджु рдкрд░ рдХोрдг 45 рдФрд░ 15 рд╣ै рддो рдз्рд╡рдЬрдбंрдб AD рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдиिрдХाрд▓рдиा рд╣ै|
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
tan45= DB
BC
1= DB
10
DB=10
C=45+15=60
tan60= AB
BC
√3= 10+AD 10√3=10+AD
10
10√3-10=AD 10×1.732-10=AD
AD=17.320-10=7.32
32. рдПрдХ рдордиुрд╖्рдп рдПрдХ рдШрд░ рдХे рдмाрд╣рд░ рдЦрдб़ा рд╣ै| рдЙрд╕рдиे рдПрдХ рдЦिрдб़рдХी рдХी рдЪोрдЯी рддрдеा рдкाрдж рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 60 рдФрд░ 45 рдкाрдП| рдпрджि рд╡рд╣ рдЖрджрдоी рдШрд░ рд╕े 10 рдлुрдЯ рдХी рджूрд░ी рдкрд░ рд╣ो рддрдеा рдЙрд╕рдХी рдКँрдЪाрдИ 5 рдлुрдЯ рд╣ो рддो рдЦिрдб़рдХी рдХी рд▓ंрдмाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:——
рдоाрдиा рдХि AB рдШрд░ рддрдеा AF рдЦिрдб़рдХी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рд╣ै|A рд╕े рддрдеा F рд╕े D рдмिंрджु рдХा рдЙрди्рдирдд рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 60 рдФрд░ 45 рд╣ै| рддो AF=?
рд╕рдордХोрдг FED рдоें
tan45= FE
ED
1= FE
10
FE=10
рд╕рдордХोрдг ADE рдоें,
tan60= AE
ED
√3= 10+AF
10
10√3=10+AF 10×1.732=10+AF
17.32=10+AF AF=17.32-10=7.32
33. рджो рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рд╕्рддंрднों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी 66 рдоी рд╣ै рдФрд░ рдПрдХ рд╣ी рдКँрдЪाрдИ рджूрд╕рд░े рдХी рджुрдЧूрдиी рд╣ै, рдЙрдирдХी рдЬрдб़ों рдХो рдоिрд▓ाрдиे рд╡ाрд▓ी рд░ेрдЦा рдХे рдордз्рдп рдмिंрджु рдкрд░ рдЙрдирдХे рд╢िрдЦрд░ों рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдПрдХ рджूрд╕рд░े рдХे рдкूрд░рдХ рд╣ैं| рдЙрдирдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—–
рдоाрдиा рдХि AB рддрдеा CD рджो рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ 2X рд╕्рддंрдн рд╣ै| рдоाрдиा рдХि CD=X M
AB=2X
BE=ED=30
ABE,
tan(90-A)= AB
BE
tan(90-A)= 2x
30
CDE,
tanA= CD
ED
tanA= 2x
30
tanA×tan(90-A)= 2x × x
30 30
tanAcotA= 2x × x
900
1= x × x
450
x2=450 x=√450=15√2
2x=2×15√2=30√2
34.(i) рджो рднूрдоि рдХेрди्рдж्рд░ों рд╕े рдоाрдкрдиे рдкрд░ рдПрдХ рдХृрдд्рд░िрдо рдЙрдкрдЧ्рд░рд╣ рдХे рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдПрдХ рд╣ी рдУрд░ рдХ्рд░рдорд╢ः 30 рдФрд░ 60 рд╣ै| рдпрджि рдХेрди्рдж्рд░ों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी 400 рдХिрдоी рд╣ो рддो рдЙрдкрдЧ्рд░рд╣ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдиिрдХाрд▓े—–
рдЙрдд्рддрд░:—- рдоाрдиा рдХि AB рдЙрдкрдЧ्рд░рд╣ рд╕े D рддрдеा C рдмिंрджु рдХे рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 60 рдФрд░ 30 рд╣ै|CD=400,BD=Xрдоाрдиा
рд╕рдордХोрдг ABD рдоें,
tan60= AB
BD
√3= AB
X
AB=X√3 ——–(1)
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें,
tan30= AB
BC
1 = AB
√3 X+400
AB×√3=X+400
AB= X+400 ——-(2)
√3
From eq (1) & (2)
x√3= x+400
√3
x√3×√3=x+400 3x=x+400
3x-x=400 2x=400 x=400/2=200
Height of AB=x√3=200√3=200×1.73=346
3416km
(ii) рдХिрд╕ी рдирд╣рд░ рдХे рдПрдХ рддрдЯ рдкрд░ рдПрдХ рдЯीрд╡ी рдЯाрд╡рд░ рдЙрд░्рдз्рд╡ाрдзрд░ рдЦрдб़ा рд╣ै| рдЯाрд╡рд░ рдХे рдаीрдХ рд╕ाрдордиे рджूрд╕рд░े рддрдЯ рдХे рдПрдХ рдмिंрджु рд╕े рдЯाрд╡рд░ рдХे рд╢िрдЦрд░ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 60 рд╣ै| рдЙрд╕ी рддрдЯ рдкрд░ рдЙрд╕ рдмिंрджु рд╕े 20 рдоी рджूрд░ рдФрд░ рдЙрд╕ рдмिंрджु рдХो рдоीрдиाрд░ рдХे рдмाрдж рд╕े рдоिрд▓ाрдиे рд╡ाрд▓ी рд░ेрдЦा рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдПрдХ рдЕрди्рдп рдмिंрджु рд╕े рдЯाрд╡рд░ рдХे рд╢िрдЦрд░ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг 30 рд╣ै| рдЯाрд╡рд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдФрд░ рдирд╣рд░ рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдиिрдХाрд▓े-
рдЙрдд्рддрд░:—-
рдоाрдиा рдХि AB рдПрдХ рдЯीрд╡ी рдЯाрд╡рд░ рд╣ै рдЬिрд╕рдХे рд╢िрдЦрд░ A рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг C рддрдеा D рдмिंрджु рдкрд░ рдХ्рд░рдорд╢ः 60 рдФрд░ 30 рд╣ै| CD=20 рддो AB=? BC=X рдоाрдиा
рд╕рдордХोрдг ABC рдоें
tan60= AB
BC
√3= AB
x
AB=√3x ——–(1)
рд╕рдордХोрдг ABD рдоें,
tan30= AB
BD
1 = AB
√3 x+20
AB√3=x+20
AB= x+20
√3
From eq (1) &(2)
рд╕реж (1) рдФрд░ (2) рд╕े,
√3x= x+20
√3
√3x×x=x+20
3x=x+20 3x-x=20 2x=20
x=20/2=10
рдирд╣рд░ рдХी рдЪौрдб़ाрдИ=10
рдЯाрд╡рд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ=10√3
35. рдХिрд╕ी рдоीрдиाрд░ рдХे рдЖрдзाрд░ рд╕े рдЧुрдЬрд░рдиे рд╡ाрд▓ी рд╕рд░рд▓ рд░ेрдЦा рдкрд░ a рдФрд░ b рджूрд░िрдпों рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдХ्рд░рдорд╢ः рджो рдмिंрджुрдУं P рдФрд░ Q рд╕े рдоीрдиाрд░ рдХे рд╢ीрд░्рд╖ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдкूрд░рдХ рд╣ैं| рд╕िрдж्рдз рдХрд░ें рдХि рдоीрдиाрд░ рдХी рдКँрдЪाрдИ √ab рд╣ै|
рдЙрдд्рддрд░:-
рдоाрдиा рдХि AB рдоीрдиाрд░ рд╕े a рддрдеा b рджूрд░ी рдкрд░ P рдФрд░ Q рдмिंрджुрдУं рд╕े рдоीрдиाрд░ рдХे рд╢िрдЦрд░ рдХा рдЙрди्рдирдпрди рдХोрдг рдХ्рд░рдорд╢ः 90-A рддрдеा A рд╣ै|
ABP рдоें,
tan(90-A)= AB —–(1)
a
ABQ рдоें,
tanA= AB
BQ
tanA= AB
b
From eq (1) &(2)
tanA×tan(90-A)= AB × AB
a b
tanA×cotA= AB2
ab
1= AB2
ab
AB2=ab AB=√ab
36. рдПрдХ рдордиुрд╖्рдп рдЬो рдирджी рдХे рдХिрдиाрд░े рдПрдХ рдкрд╣ाрдб़ी рдкрд░ рдЦрдб़ा рд╣ै, рдаीрдХ рдиीрдЪे рдХे рдХिрдиाрд░े рдХी рдУрд░ рд╕рдорд░ूрдк рд╡ेрдЧ рд╕े рдЖрддे рд╣ुрдП рдкाрдиी рдХे рдЬрд╣ाрдЬ рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 30 рджेрдЦрддा рд╣ै| рдпрджि 6 рдоिрдирдЯ рдХे рдмाрдж рдпрд╣ рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рд╣ो рдЬाрддा рд╣ै рддो рдЬрд╣ाрдЬ рдХो рдЕрдкрдиी рдкрд╣рд▓ी рд╕्рдеिрддि рд╕े рдХिрдиाрд░े рддрдХ рдкрд╣ुँрдЪрдиे рдоें рдХिрддрдиा рд╕рдордп рд▓рдЧेрдЧा|
рдЙрдд्рддрд░:-
рдоाрдиा рдХि AB рдордиुрд╖्рдп рдЬो рдкрд╣ाрдб़ी рдкрд░ рдЦрдб़ा рд╣ै C рддрдеा D рдмिंрджुрдУं рдкрд░ рдЬрд╣ाрдЬ рдХा рдЕрд╡рдирдорди рдХोрдг 60 рдФрд░ 30 рдкाрддा рд╣ै| CD рджूрд░ी рддрдп рдХрд░рдиे рдоें 6 рдоिрдирдЯ рд▓рдЧрддा рд╣ै| рддो рддрд▓ BD рджूрд░ी рддрдп рдХрд░рдиे рдоें рд▓рдЧा рд╕рдордп рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиा рд╣ै|
ABC,
tan60= AB
BC
√3= AB
BC
AB=BC√3 ——–(1)
ABD,
tan30= AB
BD
1 = AB
√3 BD
BD=AB√3 ———-(2)
FROM EQ (1),
AB=BC√3
BD=BC√3×√3 BD=BC×3
BD=3BC
SO, CD=2BC=6
2BC рдХी рджूрд░ी 6 рдоिрдирдЯ рдоें рддрдп рдХрд░рддी рд╣ै|
1BC —- —- 6
2BC
3BC —– ——- 6 ×3BC=3×3=9
2BC
0 рдЯिрдк्рдкрдгिрдпाँ