Bharti Bhawan Class-9 Math Sphere Solution Exercise-17

          

                            प्रश्नावली-17

1. त्रिज्या वाले गोले का आयतन निम्नलिखित में कौन सा है? 

(i)  1   πr3         (ii) 4πr3

     3

(iii)    4   πr3      (iv) 4πr2

          3

Answer:—   4    πr3

                     3

2. रिक्त स्थानों को भरें–

किसी गोले का आयतन V=………होता है, जबकि गोले की त्रिज्या r इकाई हो|

Answer:—–

  4   πr3

  3

3. रिक्त स्थानों को भरें–

किसी गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल=……….होता है जबकि गोले की त्रिज्या r इकाई है|

Answer:——  4πr2

4. किसी टंकी के गोलीय वाल्व का व्यास 21 सेमी है| उसका (a) पृष्ठ क्षेत्रफल तथा (b) आयतन ज्ञात कीजिये|

Answer:—–

गोले का संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=4πr2

=4×  22   ×  21  ×  21   =66×21=1386

          7         2         2

व्यास=21cm,   त्रिज्या=21/2cm

गोले का आयतन=  4   πr3

                           3

=   4    ×  22   ×  21  ×  21   ×  21   

     3         7          2        2         2

=11×441=4851cm3

5. एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है तो इसका (a) आयतन और (b) पृष्ठ क्षेत्रफल निकालिए|

Answer:—

गोले का आयतन=  4   πr3

                           3

=  4   ×   22   ×7×7×7=  4312  =1437.7

     3         7

पृष्ठ क्षेत्रफल=4πr2=4× 22 ×7×7=88×7=616

                                   7

6. रिक्त स्थान भरें—

3r सेमी त्रिज्या वाले अर्द्ध गोले का आयतन  …………… होता है|

               18πr3

Answer:—-18πr3

अर्द्ध गोले का आयतन=  2  πr3

                                  3

18πr3=  2  ×π×3r×3r×3r

               3

=18πr3

7. (a)एक अर्द्ध गोलीय कटोरे का आंतरिक त्रिज्या 9 सेमी है| उसका आंतरिक पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये|

Answer:——

अर्द्ध गोलीय कटोरे के आंतरिक पृष्ठ क्षेत्रफल

=2πr2=2×  22  ×9×9= 3564  =509.14

                    7

(b)एक अर्द्ध गोलीय कटोरे का आंतरिक व्यास 20 सेमी है| उसकी धारिता प्राप्त कीजिये|

Answer:—–

धारिता=  2  πr3

              3

=  2  ×  22  ×10×10×10=  44000    

     3       7                               21

व्यास=20cm

त्रिज्या=20/2=10cm

8. रिक्त स्थान भरें–

एक खोखले गोले के बाहरी व्यास तथा भीतरी व्यास क्रमशः x तथा y है तो खोखले गोले के ठोस भाग का आयतन=  π   (x-y)(…..) 

               6

Answer:——

x2+xy+y2

खोखले गोले का आयतन=  π   (x3-y3) 

                                      6

=  π   (x-y)(x2-xy+y2) 

    6

9. रिक्त स्थान भरें—

यदि किसी दवाई की गोली की त्रिज्या 0.5 सेमी है तो गोली का पृष्ठ क्षेत्रफल…. वर्ग सेमी होगा|

Answer:—-

r=0.5=1/2cm

गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल=4πr2

=4×π×  1   ×  1   

              2      2

=π

         

10. रिक्त स्थान भरें—

(a) पीतल के बने एक गोलीय शाट पुट का व्यास……….सेमी होगा| जबकि शाट पुट का पृष्ठ क्षेत्रफल 1600π वर्ग सेमी है|

Answer:—-

क्षेत्रफल=4πr2

1600π=4πr2

r2=400        r=√400=20cm

d=2×20=40cm

(b)एक फुटबॉल में…. घन सेंमी वायु भरी है, यदि उसका आंतरिक व्यास 24 सेमी है|

Answer:—–d=24cm    r=24/2=12cm

आयतन=  4  πr3=  4   ×π×12×12×12

               3            3

=16×144π=2304π

11. किसी ठोस गोले का सतह का क्षेत्रफल जितना वर्ग सेमी है, उसका आयतन उतना ही घन सेंमी है, तो गोले की त्रिज्या निकाले—-

उत्तर:—-

गोले का सतह का क्षेत्रफल=4πr2

गोले का आयतन=  4  πr3

                          3

=4πr2=  4  πr3

               3

r=3cm

12.(a) 3 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस गोले के पदार्थ से 1 सेमी त्रिज्या वाले कितनी ठोस गोलियाँ बनायी जा सकती है? 

उत्तर:—-

3 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4  π(3)3

                                                    3

1 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(1)3

संख्या=   4    π(3)3      =27

             3              

             4    π(1)3

             3

(b) 10 सेमी त्रिज्या वाले गोले को गलाकर 1 सेमी त्रिज्या वाली कितनी ठोस गोलियाँ बनायी जा सकती है? 

(i) 1 (ii) 10 (iii)100 (iv)1000 (iv)10000

Answer:—–

10सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4 π(10)3

                                                     3

1 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन= 4  π(1)3

                                                    3

संख्या=   4   π×10×10×10

              3                         

            4  π×1×1×1

            3

=1000

13.(a) यदि किसी गोले की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए तो उसकी आयतन कितना गुणा हो जाएगा|

उत्तर:–

r=r             r=2r

  4   πr3=   4    π×2r×2r×2r

  3              3

8 गुणा

(b)किसी गोले की त्रिज्या आधी कर दी जाए तो नये गोले का आयतन कितना भाग रह जाएगा? 

Answer:—

r=r                r=r/2

  4   πr3=  4  π×  r   ×  r   ×   r    

  3             3        2      2        2

=   1    

     8

(c)5 सेमी 6 सेमी त्रिज्या वाले गोलों के आयतन का अनुपात लिखें–

Answer:—-

r=5cm                         r=6cm

V=  4   πr3                  V= 4  πr3

       3                                3

=   4   π×5×5×5            =  4   π×6×6×6

     3                                   3

                  4    π×5×5×5

अनुपात=     3                   =125=125:216

                 4    π×6×6×6    216

                 3

14. यदि किसी गोले की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए तो उसका पृष्ठ क्षेत्रफल पहले की तुलना में कितना गुणा हो जाएगा? 

उत्तर:——-

r=r                r=2r

   4πr2=  4π×2r×2r

                 

4 गुणा

15. किसी गोले की त्रिज्या 50℅ बढ़ जाती है| निम्नलिखित में कौन सा परिणाम गोले के वक्र पृष्ठ में प्रतिशत वृद्धि सूचित करता है? 

उत्तर:—

r=r            —–(1)        

 r=r+r× 50  =r+   r   =  2r+r   =  3r    

            100        2          2          2

   4πr2     ——(1) 

4π×3r×3r     =9πr2   —–(2) 

        2×2

वृद्धि=9πr2-4πr2=5πr2

4πr2 में वृद्धि   5πr2

1 में वृद्धि     5πr2  

                 4πr2

100 में वृद्धि     5πr2  ×100=125℅

                     4πr2  

16. किसी अर्द्ध गोलीय ठोस के वक्र पृष्ठ एवं आधार क्षेत्रफल का अनुपात लिखें-

उत्तर:—

अर्द्ध गोलीय ठोस के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल= आधार का क्षेत्रफल

2πr2=πr2

अनुपात=2:1

17. अर्द्ध गोले और गोले के संपूर्ण पृष्ठों में क्या अनुपात है जबकि दोनों की त्रिज्याएं बराबर है? 

उत्तर:—

अर्द्ध गोले के संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल= गोले के संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल

3πr2=4πr2

अनुपात=3:4

18. (a) यदि किसी ठोस गोले को दो बराबर भागों में काट दिया जाए, तो दोनों अर्द्ध गोलों के संपूर्ण पृष्ठ का योग दिए हुए गोले के पृष्ठों का निम्नलिखित में कौन सा भाग होगा? 

(i)ड्योढ़ा      (ii)दुगुना 

(iii)बराबर   (iv)इनमें से कोई नहीं

Answer:—–(i)ड्योढ़ा

दिए अर्द्ध गोले के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=3πr2

परिणामी अर्द्ध गोले के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल

=3πr2

दोनों का योगफल=3πr2+3πr2=6πr2

अत: परिणामी अर्द्ध गोले के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल दिए हुए ठोस के संपूर्ण पृष्ठ का ड्योढ़ा है|

(b) यदि किसी लंबवृत्तीय बेलन की ऊँचाई और आधार का व्यास दोनों गोले के व्यास के बराबर हो तो उस बेलन का वक्र पृष्ठ का निम्नलिखित में कौन सा भाग होगा? 

(i)दुगुना (ii)बराबर

(Iii)तिगुना   (iv)इनमें से कोई नहीं

Answer:—-(i)बराबर

h=d       

h=2r

2πrh=4πr2

2πr×2r=4πr2

4πr2=4πr2

19. किसी शंकु के आधार की त्रिज्या और ऊँचाई बराबर है, उसके आयतन और उसी त्रिज्या वाले गोले के आयतन का अनुपात लिखें-

Ans:—-

r=h

   1    πr2h=  4   πr3

   3                 3

   1    πr2×r=   4    πr3

   3                   3

1:4

20.(a)एक गोले से बड़ा से बड़ा घन काटा गया है| गोले की त्रिज्या और घन का विकर्ण का अनुपात लिखें–

Answer:—–1:2

(b)एक घन से बड़ा से बड़ा गोला काटा गया है यदि घन की कोर r सेमी हो तो गोले की त्रिज्या लिखिए|

Answer:—–

  r  

 2

21. धातु के एक गोले का आयतन 38,808 घन सेंमी| उसका व्यास तथा पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये 

Answer:—-

गोले का आयतन=  4   πr3

                           3

38,808=  4   ×  22   r3

                3         7

r3=    38,808×3×7     

             4×22

r3=21×21×21      r=21cm

वक्र पृष्ठ=4πr2

=4×  22   ×21×21

         7

=88×63=5544

22. एक गोले का वक्र पृष्ठ 13.86 वर्ग सेमी है तो उसकी त्रिज्या तथा आयतन ज्ञात कीजिये|

Answer:—–

गोले के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=4πr2

13.86=4×  22   ×r2

                   7

r2=    13.86×7    

             4×22

r2=     1386×7     

        100×4×22

r=√  3×3×7×7   

              400

r=  21  =1.5     r=1/2

     20

गोले का आयतन=  4   πr3

                           3

=   4    ×   22   ×  1   ×  1   ×  1   

     3          7         2       2       2

=   4851     =4.851

     1000

23. किसी ठोस अर्द्ध गोले का आयतन 19404 घन सेंमी है तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—-

ठोस अर्द्ध गोले का आयतन=  2  πr3

                                         3

19404=  2   ×  22  ×r3

               3         7

r3=     19404×3×7     

                2×22

r3=9261        r=3√9261=21cm

24. किसी गोले की त्रिज्या r है, किसी घन का किनारा a है| यदि उनके आयतन समान हों तो r और a के बीच संबंध स्थापित कीजिये|

उत्तर:—-

गोले का आयतन=   4    πr3

                            3

घन का आयतन=a3

   4   πr3=a3

   3

  r3  =  3   

  a3     4π

(  r  )3=    3   

   a          4π

  r  =3√   3  

 a          4π

  r  =(  3   )1/3

 a       4π

25.  8 सेमी त्रिज्या वाले ठोस गोले में 2 सेमी त्रिज्या वाले कितने ठोस गोले बन सकते है? 

उत्तर:—

r=8cm           r=2cm

              4  π×(8)3

संख्या=    3               = 512 =64

             4   π×(2)3       8

             3

26. 22 सेमी के घनाकार सीसे के टुकड़े से 2 सेमी व्यास के कितने गोले बनाए जा सकते हैं? 

उत्तर:—

a=22cm               r=2/2=1cm

           

सं0=      (22)3       =22×22×22×3×7=2541

         4   × 22 ×(1)3         4×22

         3       7

27. 3 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले को पिघलाकर 0.2 सेमी व्यास वाला एक तार बनाया गया है| तार की लंबाई निकालिए|

उत्तर:—–

3 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन

=  4   πr3=  4  ×  22  ×3×3×3

    3             3       7

0.2 सेमी व्यास वाले बेलनाकार तार का आयतन 

=πr2h=  22   ×  0.2  ×  0.2  ×h

               7          2          2

  4  ×  22  ×3×3×3=  22  ×  0.2  ×  0.2 h

  3       7                      7        2          2

  4  ×  22  ×3×3×3=  22  ×  2  ×  2  h

  3       7                      7      20     20

h=   4×3×3×3×20×20  =3600cm=36m

               2×2×3

28. शीशे के वृत्ताकार ठोस की लंबाई 11 सेमी, चौड़ाई 8 सेमी और मोटाई 5 सेमी है| उससे एक सेमी व्यास वाली कितनी गोलियाँ ढालकर बनायी जा सकती है? 

उत्तर:—

शीशे के आयताकार ठोस का आयतन

=lbh=11×8×5=440

सेमी व्यास वाले गोली का आयतन

=  4   πr3= 4  × 22 × 1  × 1  ×  1  

    3            3      7      2     2      2   

संख्या=   440       = 440×3×7×2×2×2 =840

              4×22                  4×22

         3×7×2×2×2

29. एक शंकु 8 सेमी ऊंचाई है तथा उसके आधार की त्रिज्या 2 सेमी है इसे पिघलाकर एक गोले के रूप में ढाला गया है| गोले की त्रिज्या निकाले|

Answer:—

शंकु का आयतन=  1  πr2h=  1  π×2×2×8

                          3              3

=32π

    3

गोले की त्रिज्या=r

गोले का आयतन=  4  πr3

                           3

  4  πr3=32π

  3            3

r3=32      r=√32=3√8cm

30. शीशे के किसी गोले को पिघलाकर उसकी छोटी छोटी गोलियाँ बनायी गई है जिनकी त्रिज्या गोले की त्रिज्या की आधी है| छोटी कितनी गोलियाँ बनेगी? सभी छोटी गोलियाँ के संपूर्ण पृष्ठ का गोले के संपूर्ण पृष्ठ से अनुपात मालूम कीजिये|

उत्तर:–

माना कि बड़े गोले की त्रिज्या=r

छोटे गोले=r/2

बड़े गोले की आयतन= 4  πr3

                                3

छोटे गोले की आयतन=  4  π×( r  )3

                                  3        2

          4   πr3

           3                =    1   =8

संख्या=  4  π( r ) 3       1   

             3      2            8

बड़े गोले के संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=4πr2

छोटे 1 गोले के संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=4π×( r  )2

                                                        2

8 गोली का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=8×4π×( r  )2

                                                        2

=8×4π×    r2     

                4

=8πr2

अनुपात=   8πr2   =  2   =2:1

                4πr2       1

31.(a) 6 सेमी की त्रिज्या के गोले में एक घन अंतरित है, तो घन के बाहर गोले के अंश का घन फल निकाले–

उत्तर:—

6 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन

=  4  πr3=  4  ×  22  ×6×6×6

    3            3       7

=905.14285

घन का विकर्ण=√3×भुजा 

12=√3×भुजा

भुजा=  12   =     12      

           √3        1.732

=6.9284064

घन का आयतन=a3=(6.9284064)3

घन के बाहर स्थित गोले का=322.58301

आयतन=905.14285-322.58301

=572.6

(b) 7 सेमी भुजा वाले घन को छीलकर वृहतम गोला बनाया गया तो गोले का आयतन निकाले-

(π=22/7) 

Answer:——

घन की भुजा= गोले का व्यास=7cm

गोले की त्रिज्या=7/2cm

वृहतम गोले का आयतन=  4   πr3

                                     3

=  4  ×  22  ×7×7×7=  3773  =179.6

    3        7                       21

32. 3 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस अर्द्ध गोले को पिघलाकर उसी के आधार के बराबर आधार वाला एक लंब वृत्तीय शंकु बनाया गया है| शंकु की ऊँचाई निकाले—

Answer:—–;

ठोस अर्द्ध गोले का आयतन=  2  πr3

                                         3

  2  π×3×3×3=  1   π×3×3×h

  3                      3

h=6cm

33. एक अर्द्ध गोला और एक शंकु का आधार और आयतन दोनों ही समान है तो उनकी ऊंचाइयों का अनुपात निकाले—-

Answer:—–

माना कि अर्द्ध गोले के आधार की त्रिज्या=r

अर्द्ध गोले का आयतन=  2   πr3

                                  3

  2  πr3=  1   πr2h

  3            3

2r=h   

   h   =   2    =2:1

   r          1

34. पीतल के तीन गोलों की त्रिज्याएं क्रमशः 3 मीटर, 4 मीटर और 5 मीटर है| इन गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया गया है| इस बड़े गोले पर 3 रुपये 50 पैसे की दर से सोने के पानी चढ़ाने का खर्च निकाले-

उत्तर:—–

r1=3m      r2=4m        r3=5m

 4  π(r1)3+  4  π(r2)3+ 4  π(r3)3= 4 πR3

 3                 3                3                3

  4  π(r3+r3+r3)=  4   πR

  3                           3

(3)3+(4)3+(5)3=R3

27+64+125=R3

216=R3

R=6 

बड़े गोले का क्षेत्रफल=4πr2=4×  22  ×6×6

                                                7

=   3168    =452.57142

3 रुपये 50 पैसे की दर से सोने के पानी चढ़ाने

 का खर्च =3.50×452.57142=1584 लगभग

35. 8 सेमी व्यास की एक अर्द्ध गोलाकार कटोरी पानी से पूर्णतया भरी है| इसमें 4 सेंटीमीटर व्यास की एक कांच की ठोस गोली डाल दी जाती है| बताइए पानी का कौन सा भाग बह जाएगा|

उत्तर:—

व्यास=8 सेमी     त्रिज्या=8/2=4 सेमी

व्यास=8 सेमी      त्रिज्या=4/2=2 सेमी

अर्द्ध गोले का आयतन=गोले का आयतन

  2  πr3=     4    πr3×N

  3               3

N×2×4×4×4=4×2×2×2

N=1/4

36. 3 सेमी त्रिज्या वाला एक अर्द्ध गोलाकार कटोरी पानी से पूरा भरा है| बराबर भीतरी त्रिज्या वाले एक बेलन में पानी को उड़ेल दिया जाता है| बेलन में पानी की गहराई बताएं—-

उत्तर:—-

अर्द्ध गोले का आयतन =बेलन का आयतन

    2    πr3=πr2h

   3

   2   ×3×3×3=3×3h

   3

h=2cm

37. लोहे एक ठोस लंबवृत्तीय बेलनाकार छड़ की त्रिज्या 8 सेमी है| इसे पिघलाकर 6 बराबर ठोस गोलीय गेंद के रूप में ढाला गया है| जिनकी त्रिज्याएं बेलन की त्रिज्या के बराबर है| छड़ की लंबाई निकालिए|

उत्तर:—–

πr2h=  4  πr3

            3

8×8h=6×  4  ×8×8×8

                 3

h=64

38. (a) शीशे के एक गोलाकार खोल को जिसका बाहरी व्यास 18 सेमी है, पिघलाकर एक ऐसे लंबवृत्तीय बेलन में बदल दिया गया है जिसकी ऊंचाई 8 सेमी है और जिसका व्यास 12 सेमी है| खोल का भीतरी व्यास ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—-

माना कि खोल का भीतरी व्यास=d

भीतरी त्रिज्या=d/2

बाहरी त्रिज्या=18/2=9

गोलाकार शीशे का बाहरी आयतन

=  4  πr3=  4  π(9)3

    3             3

गोलाकार शीशे का भीतरी आयतन

=  4  πd3

    3

लंबवृत्तीय बेलन का आयतन=πr2h

=π×6×6×8=36×8π

गोलाकार शीशे में स्थित शीशे का आयतन= बाहरी आयतन- भीतरी आयतन

=  4  π(9)3-  4  π(  d   )3

    3               3       2

   4   π{(9)3-  d3  }

   3                  8

  4   π(729-   d3  ) 

  3                  8

36×8π=   4π   (729-  d3   ) 

                 3                8

    36×8×3   = 729-   d3   

         4                       8

216=729-     d3    

                      8

729-216=   d3    

                     8

513=     d3      

              8

d3=513×8    d=3√8×513=2×8=16cm      

(b) एक गोलाकार छिलका धातु का बना है, जिसका घनत्व 4.9 ग्राम/सेमी3 है| यदि इसकी बाहरी और भीतरी त्रिज्याएं क्रमशः 12 सेमी और 10 सेमी हो तो छिलके का वजन ज्ञात करें-

उत्तर:—

गोले का बाहरी त्रिज्या=12cm

भीतरी त्रिज्या=10cm

गोले का बाहरी आयतन=  4   πr3=  4   π(12)3

                                    3             3

गोले का भीतरी आयतन=  4  πr3=  4  π(10)3

                                    3            3

छिलके का आयतन= बाहरी आयतन-भीतरी आयतन

=  4  π×12×12×12-  4  π×10×10×10

    3                           3

=  4  π(1728-1000)=  4   ×  22  ×728

    3                              3         7

   88×728   =   64064   =3050.666

        21                21

1 सेमी3 धातु का भार =4.9 g

3050.666 घन सेंमी धातु का भार

=3050.666×4.9=14948.266

=     14948.266   =14.95

              1000

39. एक बेलनाकार बायलर 2 मीटर ऊँचा है तथा इसका व्यास 3.5 मीटर है| इसके ऊपर अर्द्ध गोलीय ढक्कन है| इसके आंतरिक भाग (ढक्कन के आंतरिक भाग सहित) का आयतन ज्ञात करें-

उत्तर:—-

बेलनाकार बायलर का व्यास=3.5m

r=  3.5          h=2m

        2

बेलनाकार बायलर का आयतन=πr2h

=   22   ×  3.5   ×   3.5   ×2

      7           2           2

=   134.75   =19.25

           7

अर्द्ध गोलीय ढक्कन का आयतन=  2  πr3

                                                3

=  2   ×  22  ×  3.5   ×  3.5   ×  3.5   

    3        7          2          2          2

=   471.625   =11.229166=11.23

          42

ढक्कन के आंतरिक भाग सहित बेलनाकार बायलर का आयतन=11.23+19.25=30.48

40. एक ठोस ऐसे वृत्तीय बेलन के रूप में है जिसके दोनों सिरे गोलार्द्ध है| यदि ठोस की संपूर्ण लंबाई 108 सेमी तथा गोलीय छोड़ो के व्यास 36 सेमी हो तो 7 पैसे प्रति वर्ग सेमी की दर से इसके ऊपर रंग कराने का खर्च ज्ञात कीजिए|(π=3.1414 लीजिए) 

उत्तर:—

यहाँ ठोस की संपूर्ण लंबाई=108

गोलीय छोड़ का व्यास=36

त्रिज्या=36/2=18

वृत्तीय बेलन की ऊँचाई=108-181-18=72

बेलन का वक्र पृष्ठ=2πrh

=2×3.1414×18×72

दोनों गोलार्द्धों के वक्र पृष्ठों का योगफल

=2πr2+2πr2=4πr2

=4×3.1414×18×18

ठोस का कुल वक्र पृष्ठ

=2×3.1414×18×72+4×3.1414×18×18

=2×3.1414×18×18×6

ठोस पर रंग कराने का खर्च

=2×3.1414×18×18×6×    7    

                                       100

=    85496.341   =854.96

             100

41. एक खिलौने का आकार ऐसा है कि मानो एक अर्द्ध गोले पर शंकु आरोपित है| शंकु के आधार की त्रिज्या 3 सेमी तथा उसकी ऊंचाई 4 सेमी है| खिलौने का पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—-

शंकु की तिर्यक ऊंचाई=l

l=√(4)2+(3)2=√16+9=√25=5cm

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

=  22  ×3×5

     7

अर्द्ध गोले की त्रिज्या=3cm

अर्द्ध गोले के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2πr2

=2×  22  ×3×3

         7

खिलौने का पृष्ठ क्षेत्रफल

=  22  ×3×5+2×  22  ×3×3

     7                      7

=  22   (22+18)=  22  ×33=  726  

     7                        7                7

=103.71

42. एक बर्तन अधोमुख शंकु के रूप में है| इसकी ऊंचाई 8 सेमी है और उसकी चोटी जो खुली हुई है कि त्रिज्या 5 सेमी है| यह किनारे तक पानी से भरा हुआ है| जब शीशे की गोलियाँ जिसमें से प्रत्येक की त्रिज्या 0.5 सेमी त्रिज्या वाली गोली है, बर्तन में डाली जाती है तो पानी का एक चौथाई भाग पानी बह जाता है| बर्तन में डाली गई शीशे की गोली की संख्या बताइए|

उत्तर:—-

अर्द्ध शंक्वाकार बर्तन का आयतन=  1   πr2h

                                                 3

= 1  ×  22  ×5×5×8=  22×200   

   3       7                          7

प्रत्येक गोली की त्रिज्या=0.5

1 गोली का आयतन=  4   πr3

                               3

=  4   ×  22  ×0.5×0.5×0.5

    3        7

=  4  ×  22  ×  5  ×  5   ×  5  =  11  

    3       7       10    10     10     21

बर्तन के पूरे पानी का आयतन= 22×200 

                                               21

                         22×200  

गोली की संख्या=     21         = 22×200 × 21 

                             11                21        11

                             21

बर्तन में डाली गई गोली की संख्या=400/4=100

43.(a) 3 सेमी व्यास वाली शीशे की कुछ गोलियाँ पानी युक्त बेलनाकार बीकर में डाली जाती है और वे पूर्णतः डूब जाती है| बीकर का व्यास 12 सेमी है| यदि बीकर में पानी 2 सेमी उठ जाए तो बीकर में कितनी गोलियाँ डाली गई है? 

उत्तर:—

बेलनाकार बीकर का व्यास=12cm

r=12/2=6cm

बेलनाकार बीकर का आयतन=πr2h

=  22   ×6×6×2

     7

गोली का व्यास=3        r=3/2

1 गोली का आयतन=  4   πr3

                               3

=  4  ×  22  ×  3   ×   3    ×  3    

    3       7       2         2       2

गोली की संख्या

(b) 24 सेमी व्यास का एक वृतीय बेलन जल से 25 सेमी ऊंचाई तक भरा है| इसमें एक ठोस लोहे का गोला डालने पर जल की सतह 6.75 सेमी ऊंचा हो जाता है तो गोले की त्रिज्या निकाले—

उत्तर:—-

व्यास=24cm

त्रिज्या=24/2=12cm

गोले को डालने पर बेलन में बढ़े हुए जल का

 आयतन =πr2h=  22  ×12×12×6.75

                            7

डाली गई गोली की त्रिज्या=r

गोली का आयतन=  4   πr3

                            3

  22  ×12×12×6.75=  4  × 22 ×r3

   7                              3

22×12×12×6.75×3×7=4×22×7×r3

r3=  22×12×12×675×3×7   

                4×22×7×100

r3=3×3×3×3×3×3

r=3√3×3×3×3×3×3=3×3=9

44. एक पात्र अर्द्ध गोलाकार है जिसकी अंत: त्रिज्या 12 सेमी और बाह्य त्रिज्या 12.5 सेमी है| पात्र के अंदर, बाहर और कोर को रंगने में कितना खर्च आयेगा यदि प्रति वर्ग सेमी रंगने में 5 पैसा खर्च हुए|

उत्तर:—-

अर्द्ध गोलाकार पात्र के बाह्य त्रिज्या R=12.5cm

बाह्य भाग का पृष्ठ क्षेत्रफल=2πR2

=2×  22  ×12.5×12.5

         7

=2×   22   ×   125   ×   125   =  6875   

           7           10          10           7

पेंट होने वाले अंत: भाग का पृष्ठ क्षेत्रफल

=2πr2=2×  22   ×12×12=   6336   

                    7

पेंट होने वाले भाग का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल

=  6875  +  6336   = 6875+6336  = 13211

         7            7                 7                   7

1 वर्ग सेमी पेंट कराने का खर्च 5 पैसा है

 13211  वर्ग सेमी पेंट कराने का खर्च   

     7

=5×  13211  =   66055   

             7                7

=9436.42

=   9436.42  =94.36

          100

45. 10.5 सेमी की त्रिज्या वाले धातु के एक ठोस गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी त्रिज्या और 3.0 सेमी ऊंचाई वाले कितने शंकु बनाए जा सकते हैं? 

उत्तर:—

गोले की त्रिज्या=10.5=21/2cm

गोले का आयतन= 4  πr3=  4  π(  21  )3

                          3            3

शंकु की त्रिज्या=r=3.5=7/2cm

शंकु की ऊँचाई=h=3cm

शंकु का आयतन=  1  πr2h=  1   π( 7  )2×3

                          3               3       2

                                        4  π× 21 × 21 × 21 

बनाए गए शंकुओं की संख्या= 3        2      2      2 

                                          1  π×  7  × 7 ×3

                                          3         2    2

= 4×21×21×21 ×   2×2   =21×6=126

        2×2×2          7×7×3

46. 4 सेमी त्रिज्या वाले 27 ठोस गोले के सम्मिलित आयतन एक बड़े गोले के आयतन के बराबर है| बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात करें-

उत्तर:—

4 सेमी त्रिज्या वाले 27 गोले का आयतन  

=27×  4  πr3=27×  4  π×(4)3

           3                  3

=27×  4  π×4×4×4=  4  πR3

           3                     3

R3=3×3×3×4×4×4

R=3×4=12