Bharti Bhawan Class-9 Math Cone Solution Exercise-16

                           प्रश्नावली-16

1. रिक्त स्थानों भरें—

(a)शंकु के आयतन का मान….. होगा जबकि r=10 मीटर और h=21 मीटर है|

उत्तर:—

शंकु का आयतन=  1   πr2h

                           3

  1  ×   22   ×10×10×21=22×100=2200

  3         7

(b)किसी लंबवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या सेमी एवं उसकी ऊंचाई सेमी है तो उसका आयतन निकाले-

उत्तर:—

आयतन=   1    πr2h

                3

=   1    ×  22    ×3×3×7=66

     3          7

2.(a) यदि किसी शंकु में l=75 सेमी और r=56 सेमी हो तो

(i) वक्र पृष्ठ    

Answer:—–

πrl=  22  ×75×56=22×8×65=11440

          7

(ii) h=……. 

Answer:—–

h=√(l)2-(r)2=√(65)2-(56)2

=√4225-3136=√1089=33

(b) यदि शंकु की ऊँचाई 35 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 37 सेमी हो तो

(i)उसकी आधार की त्रिज्या बताएं

Answer:—

r=√l2-h2=√(37)2-(35)2=√1369-1225

=√144=12cm

(ii)उसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल लिखें|

Answer:—

πrl=  22  ×12×37=   9768   

          7                        7

(c) यदि किसी शंकु की ऊँचाई 24 मीटर और त्रिज्या 7 मीटर हो तो

(i)तिर्यक ऊंचाई लिखें

Answer:—-

l=√h2+r2=√(24)2+(7)2=√576+49

=√625=25

(ii)वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

Answer:—

πrl=   22   ×7×25=550

          7

3.(a) शंकु का पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल लिखें यदि उसकी त्रिज्या 3 सेमी और ऊंचाई 4 सेमी हो

Answer:—-

l=√h2+r2=√(3)2+(4)2=√9+16=√25=5

शंकु का पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=πr(l+r) 

=  22  ×3(5+3)=  22  ×3×8=  528  

     7                       7                 7

(b)शंकु का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल बताएं यदि उसकी त्रिज्या 14 सेमी और तिर्यक ऊंचाई 15 सेमी हो|

Answer:—–

शंकु का पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=πr(l+r) 

=  22  ×14(15+14)=  22  ×14×29

     7                             7

=22×2×29=1276 

4.(a) यदि किसी लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई को अपरिवर्तित रखते हुए उसकी आधार त्रिज्या आधी कर दी जाए तो मूल शंकु के आयतन और इस लघु वृत्त शंकु के आयतन का अनुपात निम्नलिखित में कौन सा होगा? 

(i)1:2  (ii)2:1  (iii) 1:4 (iv) 4:1

उत्तर:—-

r=r         r=r/2

h=h       h=h

  1  πr2h=  1   ×π× r  ×  r  ×h

  3              3           2    2

4:1

(b) यदि किसी लंबवृत्तीय शंकु की त्रिज्या एवं ऊंचाई दोनों ही दूनी कर दी जाए तो नये ठोस के घनफल एवं पहले ठोस के घनफल का अनुपात नीचे लिखें में कौन होगा? 

उत्तर:—

r=r                 r=2r

h=h               h=2h

  1   πr2h=  1   π×2r×2r×2h

  3               3

8:1

(c) 10 मीटर ऊँचे शंक्वाकार तंबू के आधार की परिधि 44 मीटर है| एक अन्य शंक्वाकार तंबू की ऊँचाई 20 मीटर तथा परिधि 22 मीटर है| पहले तंबू तथा दूसरे तंबू के अंतर्विष्ट आयतनों का अनुपात क्या होगा? 

उत्तर:—

पहले शंक्वाकार तंबू के आधार की परिधि=2πr

44=2×  22   ×r

              7

r=    44×7     =7

       2×22

दूसरे शंक्वाकार तंबू के आधार की परिधि=2πr

22=2×  22   ×r

              7

r=    22×7    =   7   

       2×22         2

पहले शंकु का आयतन=  1   πr2h

                                  3

=  1   π×(7)2×10=  1  π×49×10

    3                          3

   

दूसरे शंकु का आयतन=  1   πr2h

                                  3

=  1  π×(  7  )2×20=  1  π×49×20

    3                            3

अनुपात=  1  π×49×10=  1   π×49×20

               3                      3

2:1

5.(a) यदि किसी लंबवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊंचाई आधी कर दी जाए और आधार त्रिज्या दूगूनी कर दी जाए तो मूल शंकु के वक्र पृष्ठ और इस नये शंकु का वक्र पृष्ठ का अनुपात निम्नलिखित में कौन सा होगा? 

(i)1:1 (ii)1:4(iii)4:1 (iv)1:1इनमें से कोई नहीं

उत्तर:—-

मूल शंकु के वक्र पृष्ठ=πrl

नये शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=π×2r×  1  

                                                          2 

=πrl              

अनुपात=πrl/πrl=1:1

(b) दो समान आधार त्रिज्या वाले लंबवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊंचाइयां 5:4 के अनुपात में है, तो उनके वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफलों के अनुपात लिखें–

Answer:—-

मूल शंकु के वक्र पृष्ठ=πr×5=5πr

नये शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=π×r×4=4πr

अनुपात=5πr/4πr=5:4

6. समान आधार और समान ऊंचाई के लंबवृत्तीय बेलन और लंबवृत्तीय शंकु के आयतनों का अनुपात क्या होगा? 

उत्तर:—

लंबवृत्तीय बेलन का आयतन=πr2h

लंबवृत्तीय शंकु का आयतन= 1  πr2h

                                        3

अनुपात=πr2h=  1   πr2h=3:1

                         3

7. a सेंटीमीटर किनारे वाले घन का आयतन और a सेमी आधार त्रिज्या एवं a सेमी ऊंचाई वाले शंकु के आयतन का अनुपात क्या होगा? 

उत्तर:—

घन का आयतन=(भुजा)3=a3

शंकु का आयतन=  1  πa3

                          3

अनुपात=        a3        =  1   =  3  =3:π

                  1   πa3        π      π

                  3                  3

8. यदि किसी शंकु की तिर्यक ऊंचाई 13 मी और ऊंचाई 12 मी हो तो उसका आयतन निकालिए-

उत्तर:-

r=√l2-h2=√(13)2-(12)2

=√169-144=√25=5cm

शंकु का आयतन=   1   πr2h

                           3

  1   ×π×5×5×12=100π

  3    

9. एक लंबवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊंचाई भुजा (तिरछी ऊंचाई) 10 मीटर है और इसकी ऊंचाई 8 मीटर है| इसके वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—

r=√l2-h2=√(10)2-(8)2=√100-64

√36=6m

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

=  22  ×6×10=   1320    

     7                       7

10. एक लंबवृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी और तिरछी ऊंचाई 15 सेमी है| शंकु का आयतन तथा कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें|

उत्तर:—

h=√l2-r2=√(15)2-(10)2=√225-100

=√125=11.18

शंकु का आयतन=  1   πr2h

                           3

  1   ×  22   ×10×10×11.18

  3        7

  1   ×  22   ×10×10×    1118     

  3         7                         100

   22×1118   =  24596   =1171.3

          21               21

शंकु के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल=πr(l+r) 

  22  ×10(15+10)=  22  ×10×25

   7                             7

   5500    =785.71

     7

11. यदि किसी शंकु की ऊँचाई 84 सेमी और आधार की त्रिज्या 35 सेमी हो तो शंकु की वक्र सतह का क्षेत्रफल और उसका आयतन ज्ञात कीजिये|

उत्तर:–

तिरछी ऊंचाई=l=√h2+r2=√(84)2+(35)2

=√7056+1225=√8281=91

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

  22  ×35×91=22×35×13=10010

   7

12. उस शंकु के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी ऊंचाई 4 सेमी और आधार की त्रिज्या 3 सेमी हो|

उत्तर:—

तिर्यक ऊंचाई l=√h2+r2

=(4)2+(3)2=√16+9=√25=5cm

शंकु के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=πr(l+r) 

π×3×(5+3)=π×3×8=24π

13. किसी शंकु की तिर्यक ऊंचाई 7 मीटर है| इसकी वक्र सतह का क्षेत्रफल 440 वर्ग सेमी है तो इसकी त्रिज्या निकाले|

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

440=  22   ×r×7

            7

r=     440×7    =20

          22×7

14. एक शंकु की वक्र सतह का क्षेत्रफल 396 वर्ग मीटर है और आधार का क्षेत्रफल 36π वर्ग मीटर है तो शंकु की तिर्यक ऊंचाई निकाले

शंकु का आधार वृत्ताकार होता है

वृत्ताकार शंकु के आधार का क्षेत्रफल=πr2

36π=πr2

r2=36π/π=36       r=√36=6cm

 शंकु की वक्र सतह का क्षेत्रफल=πrl

396=  22   ×6×l

            7

l=      396×7     =21m

          22×6

15. 11.3 सेमी त्रिज्या वाले किसी लंबवृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठ 355 वर्ग सेमी है| उस शंकु की तिर्यक ऊंचाई क्या है? आधार की परिधि भी ज्ञात कीजिये|

(π=    355    मानिये) 

           113

उत्तर:—

शंकु के वक्र सतह का क्षेत्रफल =πrl

355=    355   ×   113    ×l

             113          10

l=   355×113×10     =10

         355×113

आधार की परिधि=2πr

=2×   355    ×   113   =71

          113          10

16. किसी शंकु की संपूर्ण सतह 22 वर्ग डेसी मीटर है| उसकी तिर्यक ऊंचाई उसके आधार की त्रिज्या की छ: गुनी है| उसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—

माना कि शंकु के आधार की त्रिज्या=x

तिर्यक ऊंचाई=6×x=6x

शंकु के संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल=πr(l+r) 

   22=   22   ×x(6x+x) 

              7

22=  22   ×x×7x

         7

22×2=22

x2=22/22=1

x=√1=1       r=1       d=1×2=2 D

17. यदि किसी शंकु की तिर्यक ऊंचाई 26 सेमी और वक्र सतह 260π वर्ग सेमी है तो शंकु का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल

उत्तर:—

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

260π=πr×26

r=260π/26π=10

शंकु के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=πr(l+r) 

π×10(26+10)=π×10×36=360π

18. एक लंबवृत्तीय शंकु के आधार का क्षेत्रफल 78.5 वर्ग सेमी है| यदि किसी शंकु की ऊँचाई 12 सेमी हो तो उसका आयतन और वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये| (π=3.14) 

उत्तर:–

शंकु का आकार वृत्ताकार होता है|

78.5=πr2

78.5=3.14×r2

r2=    78.5     =25

            3.14

r=√25=5cm

l=√h2+r2=√(12)2+(5)2

=√144+25=√169=13

वक्र पृष्ठ=πrl=3.14×5×13=204.1

    आयतन=  1   πr2h

                   3

  1   ×3.14×5×5×12

  3

  3.14×5×5×4=314 cm3        

19. एक शंकु का आयतन 462 घन मीटर है और ऊंचाई 9 मीटर है, तो आधार की परिधि एवं क्षेत्रफल लिखें—-

उत्तर:—-

शंकु का आयतन=  1   πr2h

                           3

462=  1   ×  22   r2×9

           3        7

r2=    462×3×7     

             22×9

r=2=49

r=√49=7cm

वृत्ताकार शंकु के आधार की परिधि=2πr

=2×  22   ×7=44

          7          

                          क्षेत्रफल=πr2

=  22  ×7×7=154

     7

20. शंकु की ऊँचाई प्राप्त करें यदि इसका आयतन 88 घन मीटर है और आधार की परिधि 4π मीटर हो|

उत्तर:–

शंकु का आयतन=  1   πr2h

                           3

88=  1   ×  22  ×2×2×h

         3        7

h=     88×3×7     =21m

        22×2×2

शंकु का आधार वृत्ताकार होता है|

वृत्ताकार शंकु के आधार की परिधि=2πr

4π=2πr

r=4π/2π=2

21.  एक लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 24 सेमी है और वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 550 सेमी2 है| शंकु का आयतन निकाले जबकि शंकु की तिर्यक ऊंचाई 25 सेमी है|(π=22/7) 

उत्तर:—-

h=24cm, l=25cm

r=√l2-h2=√(25)2-(24)2=√625-576

=√49=7cm

शंकु का आयतन=   1    πr2h

                            3

  1   ×  22   ×7×7×24

  3        7

=22×7×8=1232

22. शंक्वाकार कैनवास के तंबू के आधार का व्यास 12 मीटर एवं तिर्यक ऊंचाई 7 मीटर है तो उस तंबू में कितना कैनवास लगेगा? 

उत्तर:-;;

व्यास=12 मी       त्रिज्या=12/2=6  मीटर

तिर्यक ऊंचाई l =7 मीटर

शंक्वाकार तंबू के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

  22   ×6×7=132

   7

तंबू में लगे कैनवास =132 सेमी2

23. यदि किसी शंक्वाकार डेरे का आयतन 9856 घन मीटर तथा फर्श का क्षेत्रफल 616 वर्ग मीटर हो तो लगे कपड़े का क्षेत्रफल बताइए|

उत्तर:—

शंक्वाकार डेरे का आधार वृत्ताकार होता है|

वृत्ताकार आधार वाले डेरे के आधार का क्षेत्रफल

=πr2

616=πr2

616=  22  r2

           7

r2=     616×7     

               22

r2=196

r=√196=14m

शंक्वाकार डेरे का आयतन=   1    πr2h

                                        3

9856=  1   ×   22   ×14×14×h

             3          7

h=    9856×3×7      =16×3=48

         22×14×14

डेरे में लगे कपड़े का क्षेत्रफल= शंक्वाकार कैनवास के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल         =πrl

l=√h2+r2                     =  22  ×14×50 

=√(48)2+(14)2                 7

=√2304+196              =22×2×50

=√2500                       =2200cm2

=50m

24. किसी शंक्वाकार तंबू में 5 व्यक्ति रहते हैं| प्रत्येक व्यक्ति के लिए आधार पर 16 वर्ग मीटर स्थान और सांस लेने के लिए 100 घन मीटर वायु की आवश्यकता होती है, तो तंबू की ऊँचाई ज्ञात करें|

उत्तर:—–

एक व्यक्ति के लिए 16 वर्ग मीटर जगह की आवश्यकता होती है|

5 व्यक्ति के लिए आवश्यक जगह=16×5=80 वर्ग मीटर

उसी प्रकार एक व्यक्ति के लिए 100 घन मीटर वायु की आवश्यकता होती है|

5 व्यक्ति के लिए आवश्यक वायु की मात्रा=100×5=500 घन मीटर

शंक्वाकार डेरे का आधार वृत्ताकार होता है|

शंक्वाकार डेरे के आधार का क्षेत्रफल=πr2=80

शंक्वाकार डेरे का आयतन=  1  πr2h

                                        3

500=  1   ×80×h

           3

h=    500×3      =  75   =18.75

            80              4

25. एक लंबवृत्तीय शंकु की त्रिज्या और ऊंचाई का अनुपात 5:12 है| यदि उसका आयतन 314 घन मीटर हो, तो उसकी तिर्यक ऊंचाई तथा आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिये|(π=3.14 ले) 

उत्तर:–:-

माना कि वृत्ताकार शंकु की त्रिज्या=r

ऊंचाई=h

r:h=5:12

   r   =   5    

  h        12

h=   12r    

        5

शंकु का आयतन=    1    πr2h

                             3

314=   1    ×3.14×r2×  12r    

            3                        5

r3=    314×3×5       

            3.14×12

r3=3√5×5×5=5m

h=   12r    =  12×5    =12

         5              5

l=√h2+r2=√(12)2+(5)2=√144+25

=√169=13m

26. एक समकोण त्रिभुज है जिसका बनाने वाली भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी लम्बी है| इस त्रिभुज को सेमी वाली भुजा पर चक्कर देने से जो शंकु बनेगा उसका आयतन प्राप्त कीजिए|

उत्तर:—

4 सेमी भुजा वाले त्रिभुज के चारों ओर चक्कर लगाने से जो शंकु बनेगा उसके आधार की त्रिज्या=3 सेमी तथा ऊंचाई=4 सेमी होगा|

शंकु का आयतन=  1   ×

27. 12 सेमी त्रिज्या के एक त्रिज्यखंड को मोड़कर एक शंकु के आकार का बनाया गया है| यदि त्रिज्यखंड का केन्द्रीय कोण 120° हो तो शंकु की धारिता निकाले|

उत्तर:—

वृत्त में त्रिज्यखंड की संख्या n=  360  =  360   

                                              ¢        120

=3

AB=वृत्ताकार आधार वाले शंकु की परिधि  

                              n

=2πr =  2×π×12   =8π

    3            3

माना कि शंकु के आधार की परिधि=r

वृत्ताकार शंकु के आधार की परिधि=2πr

8π=2πr

r=  8π   =4

      2π

शंकु की ऊँचाई  h =√l2-r2

 =√(12)2-(4)2=√144-16=√128=√64×2

=8√2 cm

शंकु का आयतन=  1   πr2h

                           3

  1   ×  22   ×4×4×8√2

  3        7

=    22×128×√2  =  22×128×1.414  

              21                        21

                    [√2=1.414]

=   3971924   =189.6

           21

28. एक लंबवृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल एक दूसरे लंबवृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का दुगुना है| फिर पहले की तिर्यक ऊंचाई दूसरे की तिर्यक ऊंचाई की आधी है दोनों शंकु की त्रिज्याओं का अनुपात निकाले-

उत्तर:–

पहले लंबवृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πrl

माना कि पहले शंकु की तिर्यक ऊंचाई l

दूसरे शंकु की तिर्यक ऊंचाई l/2

दूसरे लंबवृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल

=π×r×  l   =    πrl    

            2         2

2•πrl=   πrl    

              2

त्रिज्याओं का अनुपात=   2πrl   =  2   

                                   πrl         1   

                                    2           2

=    2    ×2=  4    =4:1

      1

29. किसी शंकु की ऊँचाई 14 सेमी है एवं आधार की त्रिज्या 6 सेमी है| आधार से 7 सेमी की ऊँचाई से अक्ष के लंबवत् समतल से काटकर शंकु के दो भाग बनाए गए हैं| तो नीचे वाले भाग का आयतन

उत्तर:—

माना कि कटे हुए शंकु के आधार की त्रिज्या=r सेमी , ऊँचाई=AO-AP=14-7=7CM

∆OPQ तथा ∆OAB समरूप

   PQ   =   PO    

   AB         OA

    PQ    =   7   

    6           14

   PQ   =   1    

    6          2

2PQ=6

PQ=6/2=3

छोटे शंकु का आयतन=   1    ×π×3×3×7

                                  3

=21π

बड़े शंकु का आयतन=  1  ×π×6×6×14

                                3

=168π

नीचे वाले भाग का आयतन= बड़े शंकु का आयतन- छोटे शंकु का आयतन

=168π-21π=147π

=  147   ×   22   =462

                    7

30. एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 3 सेमी तथा 4 सेमी है| उसे कर्ण के परित: चारों ओर घुमा दिया जाता है| इस प्रकार से बने हुए दुहरे शंक्वाकार ठोस का आयतन ज्ञात करें|

ANSWER:——

माना कि ANC समकोण ∆ है

√B=90°

ABC=4 सेमी तथा BC=3 सेमी

कर्ण AC के परित:

ABC, 

AC=√(AB)2+(BC)2=√(4)2+(3)2

=√16+9=√25=5cm

ar ∆ABC=  1   ×b×h

                   2

   1   ×AC×OB=  1   ×5×OB

   2                      2

ar ABC=  1   ×3×4=6

                2

   1    ×5×OB=6

   2

5×OB=6×2=12

OB=    12      

            5

शंकु ABD का आयतन

=  1  π×OB×OA

    3

=  1   π(  12   )2×OA

     3         5

शंकु का आयतन

=   1   π(OB)2×OC

     3

=  1   π(  12   )2×OC

    3          5

पूरे निर्मित ठोस आकृति का आयतन

=शंकु ABD का आयतन + शंकु BCD का आयतन

= 1 π×( 12  )2×OA+  1  π×(  12   )2×OC

    3        5                  3           5

=  1   π(  12  )2{OA+OC}

    3          5

=  1  π× 12  × 12  ×5= 1  ×  22  × 12  ×12

    3         5       5          3        7      5

=  1056   

       35

31. उस बड़े से बड़े लंबवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिये जो उस घन में से काटा जा सकता है जिसकी प्रत्येक किनारे की लंबाई 28 सेमी है|

ANSWER:—-

शंकु का आयतन=   1    πr2h

                           3

=  1   ×   22   ×  28  ×  28   ×28

    3          7         2        2

=     11×28×28×2    =   17248  ÷5749.33

               3                          3

32. 8 सेमी ऊंचाई और 6  सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस बेलन से 8 सेमी ऊंचाई और आधार त्रिज्या 6 सेमी वाला एक शंक्वाकार छेद काट लिया जाता है तो बचे हुए ठोस का आयतन ज्ञात कीजिये|

Answer:—–

बेलन का आयतन=πr2h

=π×6×6×8=288π

शंक्वाकार छेद आयतन=  1   πr2h

                                    3

=    1     π×6×6×8=  1   π×36×8=96π

      3                         3

बचे हुए ठोस का आयतन=288π-96π=192π

33. एक समकोण ∆ को जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 5 सेमी और 12cm है कर्ण के चारों ओर उसे अक्ष मानकर घुमाया जाता है| इस प्रकार उत्पादित ठोस का वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—

माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ABC=90°, AB=12 सेमी कर्ण AC पर ABC को घुमाया गया जिससे दो शंकु प्राप्त हुए| इन शंकुओं का आधार उभयनिष्ठ होगा किन्तु उनके शीर्ष उभयनिष्ठ आधार की विपरीत दिशाओं में है|

समकोण ABC में, 

AC=√(AB)2+(BC)2=√(12)2+(5)2

=√144+25=√169=13cm

समकोण ABC का क्षेत्रफल =  1   ×AC×OB

                                          2

=  1   ×13×OB

    2

समकोण का क्षेत्रफल=  1   ×BC×AB

                                2

=  1  ×5×12

    2

   1   ×13×OB=  1  ×5×12

   2                     2

13OB=60    OB=60/13

शंकु का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl=π•OB•5

=π×  60   ×5=   300π   

         13     n        13

शंकु का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl

=π•OB•AB

=π×   60   ×12

          13

=    720π    

         13

पूरे निर्मित ठोस का वक्र पृष्ठ= शंकु का वक्र पृष्ठ+ शंकु का वक्र पृष्ठ=  720π     +    300π    

                      13                13

=     1020π    =  1020×  22    

            13           13     × 7

=    22440    

          91

34. यदि 45 सेमी ऊंची बाल्टी के ऊपर तथा नीचे के सिरों के व्यास क्रमशः 56 सेमी और 14 सेमी हो तो इसकी धारिता निकाले| अथवा आयतन निकाले-

उत्तर:—

व्यास=56 सेमी

त्रिज्या=   56    =28 सेमी

              2

निचले सिरे का व्यास=14 सेमी

त्रिज्या=   14    =7 सेमी

               2

बाल्टी ABCD= शंकु OCD- शंकु OAB                  स्पष्ट है कि ∆∆OEB तथा ∆∆OFC समरूप

  OF   =  28    

  OE        7

  OF   =4     OF=4OE

   OE

OF=OE+45

4OE=OE+45

4OE-OE=45

3OE=45

OE=45/3=15

OF=4×15=60

बाल्टी की धारिता=

बाल्टी ABCD का आयतन= शंकु OCD का आयतन- शंकु OAB का आयतन

=  1  π(CF)2•OF –   1  π(EB)2×OE

    3                          3

=[  1  π(28)2×60- 1  π(7)2×15]

     3                      3

  1  π×(7)2×15(4×4×4-1) 

  3

  1   ×  22   ×49×15(64-1) 

  3        7

22×7×5×63=48510cm3

35. यदि 45 सेमी ऊंची बाल्टी के ऊपर तथा नीचे के सिरों की व्यास क्रमशः 56 सेमी तथा 14 सेमी हो तो उसकी (a) धारिता (b) पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये|

उत्तर:—–

बाल्टी ABCD की धारिता= शंकु OCD की धारिता – शंकु OAB की धारिता 

OEB तथा OFC समरूप

  OF   =  28  =4

  OE        7

OF=4OE

OE+EF=4OE

EF=4OE-OE=3OE

45=3OE

OE=45/3=15

OF=45+15=60

बाल्टी ABCD की धारिता

=  1   π(28)2×60-  1   ×π×(7)2×15

    3                        3

=  1   π(28×28×60-7×7×15) 

    3

   1   ×  22  (47040-725) 

   3        7

  1  ×   22   ×46305

  3        7

=2205×22=48510

बाल्टी ABCD का पृष्ठ क्षेत्रफल= शंकु OCD का पृष्ठ क्षेत्रफल –  शंकु OAB का पृष्ठ क्षेत्रफल

l1=√OE2+EB2

=√(15)2+(7)2=√225+49=√274

l2=√(FC)2+(OF)2

=√(28)2+(60)2

=√784+3600=√4384

शंकु का पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl2

=  22   ×28×√4384=  22  ×28×66.21

     7                             7

=22×4×66.21=5826.48

 छोटे शंकु का पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl1

=  22   ×7×√274

     7

=22×16.55=374.1

बाल्टी का पृष्ठ क्षेत्रफल

=5826.48-346.1=5462.38

36. एक तंबू का आकार नीचे से वृत्तीय बेलन का है ओर ऊपर से उसी आधार पर के वृत्तीय शंकु का है| बेलन का व्यास 105 मीटर है| बेलनाकार भाग की ऊंचाई 3 मीटर है जबकि शंकु की तिरछी ऊंचाई 53 मीटर है| तंबू में लगे कपड़े का क्षेत्रफल निकालिए|

उत्तर:—

व्यास=105 मी   त्रिज्या=105/2

बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=2πrh

=2×  22  ×  105   ×3=990

         7          2

शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल=πrl

=  22   ×   105    ×53=8745

      7           2

तंबू में लगे कपड़े का क्षेत्रफल=990+8745=9735

37. गेहूँ का 4.5 मीटर आधार त्रिज्या और 3.5 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के रूप में ढेर लगाया गया| गेहूँ के ढेर को कैनवास से ठीक ठीक ढंकने के लिए कितना खर्च होगा यदि कैनवास का मूल्य प्रति वर्ग मीटर 100 रुपये हो| (π=3.14 लें) 

Answer:—–

r=4.5        h=3.5

l=√h2+r2=√(3.5)2+(4.5)2

=√12.25+20.25=√32.25=5.7 m

क्षेत्रफल=πrl=3.14×4.5×5.7=80.541

₹100  ——–=80.541×100=₹8054.1