NCERT/Bihar Board Class-10 Linear Equation In Two Variables Solution Exercise-3.7

                        प्रश्नावली-3.7

1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है| अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है| कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है| अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

माना, अनी और बीजू की आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष है|

अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है| इसिलिए x-y=+3,-3 होगा|साथ ही धरम की आयु= 2x और बीजू की आयु कैथी की आयु से दुगुनी है|

कैथी की आयु= y/2 वर्ष

धरम, कैथी से बड़ा है, क्योंकि y=2

धरम और कैथी की आयु का अंतर=30 years

2x –   y  =30   4x-y=60

         2

हम रैखिक युग्म के निम्नलिखित दो युग्म प्राप्त होते हैं:

x-y=3  —-(1)     4x-y=60   —-(2) 

x-y=-3   —-(3)    4x-y=60  —–(4) 

समी (2) में से (1) घटाने पर, 

3x=57      x=57/3=19

x के इस मान समी (1) में रखने पर, 

x-y=3       19-y=3     y=16

समी (4) में से (3) को घटाने पर, 

3x=63       x=21

x का मान समी० (3) में देने पर

21-y=-3     y=24

2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा|’ दूसरा उत्तर देता है, ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियां है ं? 

[ भास्कर || की बीजगणित से]

संकेत:x+100=2(y-100), y+10=6(x-10) 

Answer:—-

x+100=2(y-100) 

x+100=2y-200

x-2y=-300  ——(1) 

y+10=6(x-10) 

y+10=6x-60

6x-y=70    ——(2) 

समी (1) और (2)×2 से

x-2y=-300

12x-2y=140  

    -11x=-440

         x=-440/-11=40 

x का मान समी० (1) में देने पर, 

x-2y=-300

40-2y=-300

-2y=-300-40=-340

y=-340/-2=170

3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है| यदि रेलगाड़ी 10km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते| रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

माना कि रेलगाड़ी की मूल समान चाल x और तय की गई दूरी xy

-2x+10y=20   —–(1) 

3x-10y=30    ——(2) 

समी (1) और (2) से, 

-2x+10y=20   

3x-10y=30     

       x=50

x का मान समी० (1) में देने पर, 

-2x+10y=20

-2×50+10y=20

-100+10y=20

10y=20+100=120

y=120/10=12

तय की गई दूरी=xy=12×50=600

4. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है| यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती| यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनती| कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

पंक्तियों की संख्या है x और प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या y

विद्यार्थियों की संख्या=xy

3x-y=3       —–(1) 

-3x+2y=6   —-(2) 

समी (1) और (2) से

3x-y=3       

-3x+2y=6   

         y=9

y का मान समी० (1) में देने पर, 

3x-y=3

3x-9=3

3x=3+9=12

x=12/3=4

विद्यार्थियों की संख्या=xy=9×4=36

5. एक ∆ABc में, <C=3 <B=2(<A+<B) है| त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए|

Answer:—-

 

<A=x     <B=y    <C=3<B=3y

3<B=2(<A+B)     3y=2(x+y) 

3y=2x+2y    y=2x     2x-y=0   —-(1)

<A+<B+<C=180

x+y+3y=180

x+4y=180    —–(2) 

समी (1) और (2)×2 से, 

2x-y=0

2x+8y=360  

     -9y=-360

        y=-360/-9=40

y का मान समी० (1) में देने पर, 

2x-y=0

2x-40=0

2x=40

x=40/2=20

3y=40×3=120

6. समीकरणों 5x-y=5 और 3x-y=3 के ग्राफ खींचिए| इन रेखाओं और y अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए| इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए|

उत्तर:—-

5x-y=5   ———(1) 

x       0      1

y      -5      0

3x-y=3     ——–(2) 

x      0       1

y     -3       0

7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:

(i)px+qy=p-q

    qx-py=p+q

Answer:—-

px+qy=p-q      ——–(1) 

qx-py=p+q      ——–(2) 

समी (1)×p और (2)×q

p2x+pqy=p2-pq

q2x-pqy=pq+q2     

p2x+q2x=p2+q2

x(p2+q2)=p2+q2

 x=1

x का मान समी० (1) में देने पर, 

px+qy=p-q

p×1+qy=p-q

p+qy=p-q

    qy=-q

      y=-1

(ii)ax+by=c

    bx+ay=1+c

Answer:—-

    ax+by-c=0          —–(1) 

    bx+ay-(1+c)=0    —–(2) 

             x           =            y            =    1     

b×{-(1+c}-a×(-c) -c×b-{-(1+c)×a} a×a-b×b

        x        =          y        =   1    

-b(1+c)+ac  -bc+a(1+c)  a2-b2

      x       =       y       =    1     

-b-bc+ac  -bc+a+ac   a2-b2

      x       =        y       =    1     

c(a-b)-b    c(a-b)+a     a2-b2

x= c(a-b) -b      y=  c(a-b) +a    

        a2-b2                  a2-b2

(iii)  x   –   y  =0

        a       b

      ax+by=a2+b2

Answer:—–

  x   –   y   =0

  a       b

bx-ay=0     ——-(1) 

ax+by-(a2+b2)=0    —–(2) 

             x                =              y             

(-a)×(-(a2+b2)-0×b  0×a-(-(a2+b2)×b

=      1         

  b×b-a×(-a) 

         x          =        y         =     1       

a(a2+b2)-0    0-b(a2+b2)    a2+b2

       x        =       y      =    1      

a(a2+b2)    b(a2+b)   a2+b2

x=   a(a2+b2)    =a  y=  b(a2+b2)  =b

          a2+b2                      a2+b2 

(iv) (a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2

       (a+b)(x+y)=a2+b2

Answer:——

  (a-b)x+(a+b)y=a2-2ab-b2

       (a+b)(x+y)=a2+b2          

{(a+b)x+(a+b)y}-{(a-b)x+(a+b)y}

-{(a2+b2)-(a2-2ab-b2)=0

(a+b)x+(a+b)y-(a-b)x

-(a+b)y-a2-b2+a2-2ab-b2=0

(a+b)x-(a-b)x-2b2-2ab=0

ax+bx-ax+bx=2ab+2b2

x=a+b

x का मान समी० (2) में देने पर, 

(a-b)(a+b)+(a+b)y-(a2-2ab-b2)=0

a2-b2+(a+b)y=a2-2ab-b2

(a+b)y=a2-2ab-b2-a2+b2

y=   -2ab    

        a+b

(v) 152x-378y=-74

    -378x+152y=-604

Answer:—-

     

  152x-378y=-74         ——(1) 

 -378x+152y=-604    ——-(2) 

समी (1) + (2) 

-226x-226y=-678

-226(x+y)=-678

x+y=-678/-226=3

x+y=3      ——(3) 

समी (1) – (2) 

-530x+530y=-530

(x-y)=1

समी (3) + (4) 

(x+y)+(x-y)=3+1

x+y+x-y=4

2x=4     x=2

x का मान समी० (3) में देने पर, 

2+y=3     y=3-2=1

8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 76 पर आकृति 3.7 देखें) | इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

A=4y+20, <B=3y-5, <C=-4x, <D=-7x+5

<A+<C=180

4y+20-4x=180

-4x+4y20-180=0

-4x+4y-160=0

-4x+4y=160

x-y=-40    —–(1) 

<B+<D

-7x+3y-180=0

7x-3y+180=0

7x-3y=-180       —–(2) 

समी(1)×7 और (2) से, 

7x-7y=-280

7x-3y=-180    

    -4y=-100

       y=-100/-4=25

y का मान समी० (1) में देने पर, 

x-y=-40

x-25=-40

x=-40+25=-15

  A=4y+20=4×25+20=100+20=120

 <B=3y-5=3×25-5=75-5=70

 <C=-4x=-4×-15=60

<D=-7x+5=-7×(-15)+5=105+5=110