प्रश्नावली-3.5
1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है| अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे बज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए|
(i)x+3y-3=0
3x-9y-2=0
Answer:—
a1=1 b1=3 c1=-3
a2=3 b2=-9 c2=-2
a1 = b1 is not equal to c1
a2 b2 c2
कोई हल नहीं
(ii) 2x+y=5 =>2x+y-5=0
3x+2y=8 =>3x+2y-8=0
Answer:—-
a1=2 b1=1 c1=-5
a2=3 b2=2 c2=-8
a1 is not equal to b1
a2 b2
अद्वितीय हल
x = y = 1
b1c2-b2c1 c1a2-c2a1 a1b2-a2b1
x = y = 1
1×(-8)-2×(-5) -5×3-(-8)×2 2×2-3×1
x = y = 1
-8+10 -15+16 4-3
x = y = 1
2 1 1
x=2 y=1
(iii) 3x-5y=20 =>3x-5y-20=0
6x-10y=40 =>6x-10y-40=0
Answer:—-
a1=3 b1=-5 c1=-20
a2=6 b2=-10 c2=-40
a1 = b1 = c1
a2 b2 c2
अपरिमित रूप से अनेक हल
(iv) x-3y-7=0
3x-3y-15=0
Answer:—–
a1=1 b1=-3 c1=-7
a2=3 b2=-3 c2=-15
a1 is not equal to b1
a2 b2
x = y = 1
b1c2-b2c1 c1a2-c2a1 a1b2-a2b1
x = y =
-3×(-15)-(-3)×(-7) -7×3-(-15)×1
1
1×(-3)-3×(-3)
x = y = 1
45-21 -21+15 -3+6
x = y = 1
24 -6 6
x=24/6=4
y=-6/6=-1
2.(i) a और b किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x+3y=7 और (a-b)x+(a+b)y=3a+b-2
Answer:—-
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए शर्त:–
a1 = b1 = c1
a2 b2 c2
a1 = b1
a2 b2
2 = 3
a-b a+b
2a+2b=3a-3b
3a-2a-3b-2b=0
a-5b=0 ——-(1)
b1 = c1
b2 c2
3 = 7
a+b 3a+b-2
9a+3b-6=7a+7b
9a-7a+3b-7b-6=0
2a-4b=6
a-2b=3 ——–(2)
समी ० (1) और (2) से,
a-5b=0
a-2b=3
-3b=-3
b=1
b का मान समी० (1) में रखने पर,
a-5b=0
a-5×1=0
a-5=0
a=5
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x+y=1 और (2k-1)x+(k-1)y=2k+1
Answer:—–
कोई हल नहीं के लिए शर्त:—
a1 = b1 is not equal to c1
a2 b2 c2
3 = 1
2k-1 k-1
3k-3=2k-1
3k-2k=-1+3
k=2
3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं बज्र गुणन विधियों से हल कीजिए| किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
8x+5y=9 और 3x+2y=4
Answer:—-
8x+5y=9 =>8x+5y-9=0
3x+2y=4 =>3x+2y-4=0
a1=8 b1=5 c1=-9
a2=3 b2=2 c2=-4
x = y = 1
b1c2-b2c1 c1a2-c2a1 a1b2-a2b1
x = y = 1
5×(-4)-2×(-9) (-9)×3-(-4)×8 8×2-3×5
x = y = 1
-20+18 -27+32 16-15
x = y = 1
2 5 1
x=2 y=5
4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्यार्थी A को जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते हैं| नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
माना कि छात्रावास का नियत व्यय x रू और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य y रू है|
x+20y=1000 ——(1)
x+26y=1180 ——(2)
समी (1) और (2) से,
x+20y=1000
x+26y=1180
-6y=-180
y=-180/-6=30
y का मान समी(1) में रखने पर,
x+20y=1000
x+20×30=1000
x+600=1000
x=1000-600=400
(ii)एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है| वह भिन्न ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
भिन्न=x/y
अंश=x, हर=y
x-1 = 1
y 3
3x-3=y
3x-y=3 ——(1)
x = 1
y+8 4
4x=y+8
4x-y=8 ——(2)
समी(1) और (2) से,
3x-y=3
4x-y=8
-x=-5
x=5
x का मान समी(1) में रखने पर,
3x-y=3
3×5-y=3
15-y=3
-y=3-15=-12
y=12
भिन्न=x/y=6/12
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई| यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता| टेस्ट परीक्षा में कितने प्रश्न थे?
उत्तर:—-
माना कि सही उत्तर के लिए x और अशुद्ध उत्तर के लिए y
3x-y=40 ——(1)
4x-2y=50 ——(2)
समी (1)×2 और (2) से,
6x-2y=80
4x-2y=50
2x=30
x=30/2=15
x का मान समी० (1) में रखने पर,
3x-y=40
3×15-y=40
45-y=40
-y=40-45=-5
y=5
Total question=15+5=20
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100km की दूरी पर है| एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारंभ करती है| यदि ये कारें भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती है| दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
x-y=20 ——-(1)
x+y=100 ——(2)
समी (1) और (2) से,
x-y=20
x+y=100
2x=120
x=120/2=60
x का मान समी० (1) में रखने पर,
x-y=20
60-y=20
-y=20-60=-40
y=40
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौडाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौडाई को 2 इकाई बढ़ा दे तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है| आयत की विमाएं ज्ञात कीजिए|
Answer:——
माना कि लंबाई x और चौडाई y
क्षेत्रफल=xy
लंबाई x-5 और चौडाई y+3
क्षेत्रफल=(x-5)(y+3)
(x-5)(y+3)=xy-9
xy+3x-5y-15=xy-9
3x-5y=6 ——(1)
(x+3)(y+2)=xy+67
xy+2x+3y+6=xy+67
2x+3y=61 ——(2)
समी (1)×2 और (2)×3 से,
6x-10y=12
6x+9y=183
-19y=-171
y=-171/-19=9
y का मान समी० (1) में रखने पर,
3x-5y=6
3x-5×9=6
3x-45=6
3x=6+45=51
x=51/3=17
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