प्रश्नावली-1.4
1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है:-
(i) 13
3125
Answer:—
5|3125
5|625
5|125
5|25
5|5
1
3125=5×5×5×5×5
5m के रूप में होने के कारण सांत है|
(ii) 17
8
Answer:—
8=2×2×2
2n के रूप में होने के कारण सांत है|
(iii) 64
455
Answer:—-
5|455
7|91
13|13
1
455=5×7×13
2n5m के रूप में नहीं होने के कारण असांत आवर्ती है|
(iv) 15
1600
Answer:—-
2|1600
2|800
2|400
2|200
2|100
2|50
5|25
5|5
1
1600=2×2×2×2×2×2×5×5
2n5m के रूप में होने के कारण सांत है
(v) 29
343
343=7×7×7
2n5m के रूप में नहीं होने के कारण असांत आवर्ती है
(vi) 23
(2)3(5)2
2n5m के रूप में होने के कारण सांत है
(vii) 129
(2)2(5)7(7)5
2n5m के रूप में नहीं होने के कारण असांत आवर्ती है
(viii) 6 = 2
15 5
5m के रूप में होने के कारण सांत है
(ix) 35
50
50=2×5×5
2n5m के रूप में होने के कारण सांत है
(x) 77
210
210=2×3×5×7
2n5m के रूप में नहीं होने के कारण असांत आवर्ती है
2. ऊपर प्रश्न 1 में दिए गए उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार को लिखिए जो सांत है|
(i) 13 = 13
3125 5×5×5×5×5
= 13×2×2×2×2×2
5×2×5×2×5×2×5×2×5×2
= 13×32 = 416 =0.00416
10×10×10×10×10 100000
(ii) 17 = 17 = 17×5×5×5
8 2×2×2 2×2×2×5×5×5
2125 =2.125
1000
(iii) असांत
(iv) 15 = 15
1600 2×2×2×2×100
= 15×(5)4 = 15×625
(2)4×(5)4×(10)2 (10)4×(10)2
= 9375 =0.009375
(10)6
(v) असांत
(vi) 23 = 23×5 = 115
(2)3(5)2 (2)3(5)2×5 (2)3×(5)3
115 =0.115
(10)3
(vii) असांत
(viii) 6 = 2×3 = 2 = 2×2 = 4 =0.4
15 3×5 5 5×2 10
(ix) 35 = 5×7 = 7 =0.7
50 5×10 10
(x) असांत
3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं| प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं| यदि यह परिमेय संख्या है और p के रूप की है
q
तो q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i)43.123456789
(ii)0.120120012000120000…..
(iii)43.123456789
उत्तर:—–
(i)हमें प्राप्त है 43.123456789
स्पष्ट 43.123456789 एक सांत दशमलव प्रसार है| अत: यह एक परिमेय संख्या है जिसे
हम p के रूप में लिख सकते हैं|
q
अर्थात 43.123456789
=43123456789 =43.123456789
1000000000 (10)9
=43123456789 = 43123456789
(2×5)9 (2)9×(5)9
स्पष्ट q के अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 या दोनों होंगे| यहाँ q के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों ही है|
(ii)हमें प्राप्त है 0.120120012000120000…
स्पष्टतः दिया गया दशमलव प्रसार असांत (अनवसानी) और अनावर्ती है| अत: यह एक अपरिमेय संख्या है
(iii) हमें प्राप्त है 43.123456789
स्पष्टतः दिया गया दशमलव प्रसार असांत है परन्तु यह आवर्ती है| अत: यह p के रूप का है अर्थात यह
q
परिमेय संख्या है| अब 43.123456789= p जहाँ
q
q=999999999 है|
स्पपष्टतः q के अभाज्य गुणनखंड में 2 या 5 के अतिरिक्त एक और गुणनखंड होगा|
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