NCERT/Bihar Board Class-10 Math Real Numbers Solution Exercise-1.2

                         प्रश्नावली-1.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए|

(i)140

उत्तर:–

2|140

2|70

5|35

7|7  

    1

140=2×2×5×7 

(ii) 156

उत्तर:–

  2|156

  2|78  

  3|39  

13|13  

      1

156=2×2×3×13

(iii) 3825

उत्तर:–

  3|3825

  3|1275

  5|425  

  5|85   

17|17   

       1

3825=3×3×5×5×17

(iv) 5005

उत्तर:–

  5|5005

  7|1001

11|143 

13|13  

      1

5005=5×7×11×13

(v) 7429

उत्तर:–

17|7429

19|437  

23|23    

       1

7429=17×19×23

2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के म०स०(HCF) और ल०स०(LCM) ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल=म०स०(HCF)×ल०स०(LCM) है|

(i) 26 और 91

उत्तर:–

26=13×2

91=13×7

HCF=13

LCM=2×7×13=182

HCF×LCM=13×182=2366

 दो संख्याओं का गुणनफल=26×91=2366

HCF×LCM=दो संख्याओं का गुणनफल

(ii) 510 और 92

उत्तर:–

  

  2|510               2|92

  3|255               2|46

  5|85               23|23

17|17                     1

      1

510=2×3×5×17

92=2×2×23

HCF=2

LCM=2×2×3×5×17×23=23460

HCF×LCM=2×23460=46920

 दो संख्याओं का गुणनफल=510×92=46920

HCF×LCM=दो संख्याओं का गुणनफल

(iii)336 और 54

उत्तर:–

2|336            2|54

2|168            3|27

2|84               3|9 

2|42              3|3 

3|21                |1

7|7   

    1

336=2×2×2×2×3×7

54=2×3×3×3

HCF=2×3=6

LCM=2×2×2×2×3×3×3×7=3024

HCF×LCM=6×3024=18144

 दो संख्याओं का गुणनफल=336×54=18144

HCF×LCM=दो संख्याओं का गुणनफल

3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के म०स०(HCF) और ल०स०(LCM) ज्ञात कीजिए|

(i)12,15 और 21

उत्तर:–

12=2×2×3

15=3×5

21=3×7

HCF=3

LCM=2×2×3×5×7=420

(ii) 17,23 और 29

उत्तर:–

17=17×1

23=23×1

29=29×1

HCF=1

LCM=17×23×29=11339

(iii) 8,9 और 25

उत्तर:—

8=2×2×2×1

9=3×3×1

25=5×5×1

HCF=1

LCM=2×2×2×3×3×5×5=1800

4. HCF(306,657)=9 दिया है| LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

HCF(306,657)=9

LCM (306, 657)=? 

LCM=  दो संख्याओं का गुणनफल  

                         HCF

LCM=   306×657   =22338

                   9

5. जांच कीजिए कि क्या प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है|

उत्तर:—

यदि किसी संख्या n के लिए, संख्या 6n शून्य पर समाप्त होगी तो वह 5 से विभाज्य होगी अर्थात 6n के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 5 आनी चाहिए | परन्तु जानते हैं कि 6n के अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई भी अभाज्य संख्या आ सकती है| हम जानते हैं कि अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि 6n के गुणनखंड में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है| इसिलिए ऐसी कोई संख्या n नहीं है, जिसके लिए 6n अंक 0 पर समाप्त होगी|

6. व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्या क्यों है? 

उत्तर:—

यहाँ, हमें प्राप्त है 7×11×13+13=13×(7×11×1+1)=13×78 हम जानते है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अद्वितीय रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है| अत: 7×11×13+13=13×(7×11+1)=13×78=2×3×13×13 यहाँ 2×3×13×13 में सभी अभाज्य संख्याएँ है| इसिलिए 7×11×13+13  एक अभाज्य संख्या है|

इसी प्रकार 7×6×5×4×3×2×1+5=5×(7×6×5×4×3×2×1+1)=5×1009 जो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है| इसिलिए 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्या है|

7. किसी खेल के मैदान में चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है| इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि उसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं| मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं| कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे? 

उत्तर:—

18=2×3×3

12=2×2×3

ल०स०=2×2×3×3=36