प्रश्नावली-1.2
1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए|
(i)140
उत्तर:–
2|140
2|70
5|35
7|7
1
140=2×2×5×7
(ii) 156
उत्तर:–
2|156
2|78
3|39
13|13
1
156=2×2×3×13
(iii) 3825
उत्तर:–
3|3825
3|1275
5|425
5|85
17|17
1
3825=3×3×5×5×17
(iv) 5005
उत्तर:–
5|5005
7|1001
11|143
13|13
1
5005=5×7×11×13
(v) 7429
उत्तर:–
17|7429
19|437
23|23
1
7429=17×19×23
2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के म०स०(HCF) और ल०स०(LCM) ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल=म०स०(HCF)×ल०स०(LCM) है|
(i) 26 और 91
उत्तर:–
26=13×2
91=13×7
HCF=13
LCM=2×7×13=182
HCF×LCM=13×182=2366
दो संख्याओं का गुणनफल=26×91=2366
HCF×LCM=दो संख्याओं का गुणनफल
(ii) 510 और 92
उत्तर:–
2|510 2|92
3|255 2|46
5|85 23|23
17|17 1
1
510=2×3×5×17
92=2×2×23
HCF=2
LCM=2×2×3×5×17×23=23460
HCF×LCM=2×23460=46920
दो संख्याओं का गुणनफल=510×92=46920
HCF×LCM=दो संख्याओं का गुणनफल
(iii)336 और 54
उत्तर:–
2|336 2|54
2|168 3|27
2|84 3|9
2|42 3|3
3|21 |1
7|7
1
336=2×2×2×2×3×7
54=2×3×3×3
HCF=2×3=6
LCM=2×2×2×2×3×3×3×7=3024
HCF×LCM=6×3024=18144
दो संख्याओं का गुणनफल=336×54=18144
HCF×LCM=दो संख्याओं का गुणनफल
3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के म०स०(HCF) और ल०स०(LCM) ज्ञात कीजिए|
(i)12,15 और 21
उत्तर:–
12=2×2×3
15=3×5
21=3×7
HCF=3
LCM=2×2×3×5×7=420
(ii) 17,23 और 29
उत्तर:–
17=17×1
23=23×1
29=29×1
HCF=1
LCM=17×23×29=11339
(iii) 8,9 और 25
उत्तर:—
8=2×2×2×1
9=3×3×1
25=5×5×1
HCF=1
LCM=2×2×2×3×3×5×5=1800
4. HCF(306,657)=9 दिया है| LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
HCF(306,657)=9
LCM (306, 657)=?
LCM= दो संख्याओं का गुणनफल
HCF
LCM= 306×657 =22338
9
5. जांच कीजिए कि क्या प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है|
उत्तर:—
यदि किसी संख्या n के लिए, संख्या 6n शून्य पर समाप्त होगी तो वह 5 से विभाज्य होगी अर्थात 6n के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 5 आनी चाहिए | परन्तु जानते हैं कि 6n के अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई भी अभाज्य संख्या आ सकती है| हम जानते हैं कि अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि 6n के गुणनखंड में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है| इसिलिए ऐसी कोई संख्या n नहीं है, जिसके लिए 6n अंक 0 पर समाप्त होगी|
6. व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्या क्यों है?
उत्तर:—
यहाँ, हमें प्राप्त है 7×11×13+13=13×(7×11×1+1)=13×78 हम जानते है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अद्वितीय रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है| अत: 7×11×13+13=13×(7×11+1)=13×78=2×3×13×13 यहाँ 2×3×13×13 में सभी अभाज्य संख्याएँ है| इसिलिए 7×11×13+13 एक अभाज्य संख्या है|
इसी प्रकार 7×6×5×4×3×2×1+5=5×(7×6×5×4×3×2×1+1)=5×1009 जो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है| इसिलिए 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्या है|
7. किसी खेल के मैदान में चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है| इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि उसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं| मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं| कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
उत्तर:—
18=2×3×3
12=2×2×3
ल०स०=2×2×3×3=36
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