NCERT/Bihar Board Class-10 Math Real Numbers Solution Exercise-1.1

                          प्रश्नावली-1.1

1. निम्नलिखित संख्याओं का म०स०(HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए|

(i)135 और 225

Answer:—

a=bq+r

225=135×1+90

135=90×1+45

90=45×2+0

HCF=45

(ii)196 और 38220

Answer:—-

a=bq+r

38220=196×195+0

HCF=196

(iii) 867 और 255

Answer:—

a=bq+r

867=255×3+102

255=102×2+51

102=51×2+0

HCF=51

2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक या या के रूप का होता है, जहाँ कोई पूर्णांक है|

उत्तर:—-

माना कि a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है| 

a और b=6 तो विभाजन एल्गोरिथ्म से, 

चूंकि 0<r<6 है, इसिलिए संभावित शेषफल 0,1,2,3,4 और 5 है|

अर्थात a संख्याओं 6q+1, या 6q+3 या 6q+5 के रूप का हो सकता है जहाँ q भागफल है| चूंकि a एक पूर्णांक है, इसिलिए यह 6q या 6q+2 और 6q+4 के रूप का नहीं हो सकता है, क्योंकि ये तीनों 2 से विभाज्य है|

इसिलिए कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होगा|

3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है| दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है| उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं? 

उत्तर:—

a=bq+r

616=32×19+8

32=8×4

HCF=8

4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है|

उत्तर:—

माना कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है| तब, यह 3q, 3q+1 या 3q+2 के रूप में लिखा जा सकता है| यहाँ हमें यह दिखाना है कि सभी का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप में किसी पूर्णांक m के लिए लिखा जा सकता है|

प्रत्येक का वर्ग करने पर, 

(3q)2=9q2=3(3q2)=3m, जहाँ m=3q2

(3q+1)2=9q2+6q+1=3(32+2q)+1

              =3m+1, जहाँ m=3q2+2q

(3q+2)2=9q2+12q+4=3(3q2+4q+1)+1

             =3m+1, जहाँ m=3q2+4q+1

इस प्रकार, यह प्रमाणित होता है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 3m या 3m+1 के रूप का होता है|

5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है|

उत्तर:—

माना कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है| तब यह 3q या, 3q+1 या 3q+2 के रूप का होगा| अब हमें दर्शाना है कि इन सभी का घन 3m या 3m+1 या 3m+8 के रूप में किसी धन पूर्णांक m के लिए लिखा जा सकता है| 

प्रत्येक का घन करने पर, 

(3q)3=27q3=9(3q2)=9m, जहाँ m=3q3

(3q+1)3

=(3q)3+3(3q)2(1)+3(3q)(1)2+(1)3

=27q3+27q2+9q+1=9(3q3+3q2+q)+1

=9m+1, जहाँ m=3q3+3q2+q

(3q+2)3

=(3q)3+3(3q)2(2)+3(3q)(2)2+(2)3

=27q3+54q2+36q+8

=9(3q3+6q2+4q)+8

=9m+8, जहाँ m=3q3+6q2+4q

इस प्रकार, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m या 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है