NCERT/Bihar Board Class-10 Co-ordinate Geometry Solution Exercise-7.3

                         प्रश्नावली-7.3

1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्नलिखित हैं:

(i)(2, 3), (-1, 0), (2, -4) 

Answer:—

(2, 3), (-1, 0), (2, -4) 

x1=2      x2=-1   x3=2

y1=3      y2=0     y3=-4

त्रिभुज का क्षेत्रफल

=  1   [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

     2

=  1  [2(0-(-4)+(-1)(-4-3)+2(3-0)]

    2

=  1   (2×4+7+6)=  1   ×21=  21  

    2                         2               2

(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2) 

Answer:—

(-5, -1), (3, -5), (5, 2)

x1=-5     x2=3     x3=5

y1=-1     y2=-5     y3=2

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

   2

=  1  [(-5)(-5-2)+3(2-(-1)+5((-1)-(-5)]

    2

=  1  [(-5)×(-7)+3×3+5×(4)]

    2

=  1   [35+9+20]=  1   ×64=32

    2                         2

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों:

(i)(7, -2), (5, 1), (3, k) 

Answer:—

(7, -2), (5, 1), (3, k) 

x1=7     x2=5     x3=3

y1=-2     y2=1      y3=k

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 1 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

   2

=  1  [7(1-k)+5(k-(-2)+3(-2-1)]=0

    2

=[7-7k+5k+10-9]=0

8-2k=0

2k=8

k=4

(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5) 

Answer:—

(8, 1), (k, -4), (2, -5)

x1=8         x2=k      x3=2

y1=1          y2=-4     y3=-5

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 1  [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]

   2

=  1   [8(-4-(-5)+k(-5-1)+2(1-(-4)]=0

    2

=  1  [8(-4+5)+k×(-6)+2(1+4)]=0

    2

=  1  (8-6k+10)

     2

=8-6k+10=0      

-6k=-18                k=-18/-6=3

3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

A(0, -1),  B(2, 1) और  C(0, 3) 

D=  0+2   ,  -1+1   = (1, 0) 

         2           2

E=  2+0   ,  1+3   =(1, 2) 

        2           2

F=  0+0   ,   -1+3    =(0, 1) 

        2              2

त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल=

  1   [1(2-1)+1(1+0)+0(0-2)]

  2

=   1   (1+1+0)=1

     2

त्रिभुज DEF के क्षेत्रफल=

  1  [0(1-3)+2(3+1)+0(-1-1)]

  2

  1   (0+8+0)=4

  2

त्रिभुज DEF के क्षेत्रफल =  1   =1:4

त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल    4

4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) है|

उत्तर:—

A(-4, -2),  B(-3, -5), C(3, -2) और D(2, 3) 

B को D से मिलाने पर, 

∆ABD के क्षेत्रफल=

  1  [-4(-5-3)+(-3)(3+2)+2(-2+5)]

  2

  1  [32-15+6]=  1   ×23=  23  

  2                       2              2

∆BCD के क्षेत्रफल=

 1 [-3(-2-3)+3(3+5)+2(-5+2)]

 2

  1   (15+24-6) =  33  

  2                          2

ABCD के क्षेत्रफल=∆ABD+∆BCD के क्षेत्रफल

                         =  23  +  33 =  56   =28

                              2         2       2

5. कक्षा IX में आपने पढा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है| उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4,-6), B(3,-2) और C(5,2) है|

Answer:—

A(4,-6), B(3,-2), C(5,2) 

AB का मध्य बिन्दु या D= 3+5  ,-2+2  =4,0

                                      2        2

A(4,-6), B(3,-2),  D(4, 0) 

∆ABD के क्षेत्रफल

=  1  [4(-2-0)+3(0+6)+4(-6+2)]

    2

=  1  [-8+18-16]=  1   ×(-6)=-3

    2                        2

∆ADC  के क्षेत्रफल

=  1  [4(0-2)+4(2+6)+5(-6-0)]

    2

=  1   [-8+32-30]=  1   ×(-6)=-3

    2                         2

∆ABD के क्षेत्रफल=∆ADC  के क्षेत्रफल

PROVED