NCERT/Bihar Board Class-10 Co-ordinate Geometry Solution Exercise-7.4

                  प्रश्नावली-7.4(ऐच्छिक) 

1. बिंदुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखा खंडों को 2x+y-4=0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—–

A(2,-2)  B(3,7) 

x1=2                 y1=-2

x2=3                  y2=7

x=  m1×3+m2×2    =  3m1+2m2  

           m1+m2               m1+m2

y=  m1×7+m2×(-2) =  7m1-2m2  

          m1+m2                 m1+m2

2x+y-4=0

2×( 3m1+2m2  )+ 7m1-2m2  -4=0

          m1+m2          m1+m2

 6m1+4m2+7m1-2m2-4m1-4m2  =0

                     m1+m2

9m1=2m2                   m1:m2=2:9

2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए,यदि बिंदु  (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं|

उत्तर:—-

(x, y), (1, 2) और (7, 0) 

x1=x      x2=1         x3=7

y1=y       y2=2        y3=0

 क्षेत्रफल ABC=

  1   [x(2-0)+1(0-y)+7(y-2)]=0

  2

  1   [2x-y+7y-14]=0

  2

2x+6y-14=0         x+3y-7=0

3. बिंदुओं (6,-6), (3,-7) और (3, 3) से होकर जानेवाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

माना कि A(6,-6), B(3,-7) और C(3, 3) है|

माना कि P(x,y) वृत्त का वांछित केन्द्र है|

PA=PB=PC

(PA)2=(PB)2=(PC)2

(PA)2=(PB)2       (PB)2=(PC)2

(PA)2=(PB)2

(x-6)2+(y-(-6)2=(x-3)2+(y-(-7)2

(x-6)2+(y+6)2=(x-3)2+(y+7)2

x2-12x+36+y2+12y+36=x2-6x+9+y2+14y+49

-6x-2y+14=0     3x+y-7=0  —-(1) 

PB2=PC2

(x-3)2-(y-(-7)2=(x-3)2+(y-3)2

x2-6x+9+y2+14y+49=x2-6x+9+y2-6y+9

20y+40=0      y=-40/20=-2

y का मान समी० (1) में देने पर, 

3x+y-7=0           3x-2-7=0

3x-9=0       3x=9        x=9/3=3

4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) है| वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

A(-1, 2)     C(3, 2)    B(x, y) 

AB=BC=>    AB2=BC2

(x+1)2+(y-2)2=(3-x)2+(2-y)2

x2+2x+1+y2-4y+4=9-6x+x2+4-4y+y2

8x=8      x=1

AB2+BC2=AC2

(x+1)2+(y-2)2+(3-x)2+(2-y)2=(3+1)2+(2-2)2

x2+2x+1+y2-4y+4+9-6x+x2+4-4y+y2=16

2×2+2y2-4x-8y+18=16

x2+y2-2x-4y+1=0     —–(1) 

x का मान समी० (1) में देने पर, 

x2+y2-2x-4y+1=0

(1)2+y2-2×1-4y+1=0

1+y2-2-4y+1=0

y2-4y=0              y=0     y=4

Points (1, 0) (1, 4) 

5. कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है| गुलमोहर की पौधे(Sapling) को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है| इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लान(lawn) है, जैसा कि पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 189 पर की आकृति 7.14 में दर्शाया गया है| विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने है|

(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

(ii)यदि मूलबिंदु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे? 

साथ ही, उपर्युक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| आप क्या देखते हैं? 

उत्तर:::—पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 189 की आकृति 7.14 के ध्यान पूर्वक अवलोकन पर, पाते हैं

(i) यदि A मूलबिंदु लेते हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः P(4,6), Q(3,2) और R(6,5) है जबकि AD और AB को निर्देशांक अक्षों के रूप में लेते हैं|

(ii) यदि मूलबिंदु C लेते हैं तो निर्देशांक अक्ष CB और CD होंगे| तब सुस्पष्ट है कि बिंदुओं P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः P(12,2), Q(13,6) और R(10,3) है|

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष के निर्देशांक (x1,y1), (x2,y2) और (x3,y3) हो तो   1   [x1(y2-y3)+x2(y3-y2)+x3(y3-y1)]

      2

के संख्यात्मक मान के रूप में दिया जाता है|

∆PQR का क्षेत्रफल

= 1  [4(2-5)+3(5-6)+6(6-2)]

   2

=  1   (-12-3+24)=  9   

    2                         2

∆PQRका क्षेत्रफल

=  1   [12(6-3)+13(3-2)+10(2-6)]

    2

=  1  (36+13-40)=  9   

    2                         2

6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2)है| भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गयी है कि    AD   =  AE   =  1   

                  AB        AC       4

है| ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए|

उत्तर:—

∆ABC जिसके शीर्ष A(4, 6), B(1, 5), C(7, 2) 

  AD  =  AE   =  1   

  AB      AC       4

   AD   =  1     =>      AD      =  1   

   AB       4            AD+AB      4

4AD-AD=DB

DB=3AD

   AD   =   1            1:3

   DB        3

D=  1×1+3×4   ,  1×5+3×6   = 13  , 23  

           1+3               1+3           4      4

  AE  =  1   =>    AE     =  1       1:3

  AC      3        AE+EC     3

E =  1×7+3×4  ,  1×2+3×6  =  19  , 5

            1+3             1+3           4

∆ADE का क्षेत्रफल

=  1  [4( 23 -5)+ 13  (5-6)+ 19  (6- 23  )]

    2         4           4                4

= 1  [4×  3  –  13  +  19  ×  1    ]

   2         4      4         4       4

=  1  [3-  13   +  19   ]

    2         4         16

=  1   [  48-52+19   ]=  15   

    2             16              32

∆ABC  का क्षेत्रफल

= 1 [4(5-2)+1(2-6)+7(6-6)]

   2

=   1    [12-4+7]

     2

=  15   

     2

∆ADE का क्षेत्रफल  =  15/32  =1:16

∆ABC  का क्षेत्रफल     15/2     

7. मान लीजिए A(4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष है|

(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC, D पर मिलती है| बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

(ii)AD पर स्थित ऐसे बिंदु क निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP:PD=2:1 हो|

(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ:QE=2:1 और CR:RF=2:1 हो

(iv( आप क्या देखते हैं? 

(v)यदि A(x1,y1), B(x2,y2) और C(x3,y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष है, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

∆ABC के शीर्ष A(4,2) B(6,5) और C(1,4)है|

(i)चूंकि AD ∆ABC के शीर्ष A से होकर जाने वाली माध्यिका BC को D पर प्रतिच्छेद करती है| इसिलिए, बिंदु D भुजा BC का मध्य बिंदु है| अत: D के निर्देशांक   (  6+1  ,  5+4   ) अर्थात   7  ,   9   

    1+1    1+1                 2      2   

(ii)माध्यिका AD पर P एक ऐसा बिंदु है कि AP:PD=2:1 अर्थात बिंदु P, AD को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है| अत: P के निर्देशांक 

(2×  7   +1×4  2×  9  +1×2) 

       2            ,       2            

     2+1                 2+1

अर्थात     11    ,    11    

               3          3

(iii) चूंकि माध्यिका BE, भुजा AC से E बिंदु पर मिलती है| इसिलिए, भुजा AC का E मध्य बिंदु है|

फलतः E के निर्देशांक

   4+1   ,   2+4    =  5   , 3

     2           2           2

अब, माध्यिका BE पर Q एक ऐसा बिंदु है कि 

BQ:QE=2:1 अर्थात बिंदु Q, माध्यिका BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है| 

अत: Q के निर्देशांक=2×  5   +1×6,  2×3+1×5 

                                   2                   2+1

                                  2+1

अर्थात    11   ,   11   

              3         3

पुनः चूंकि, माध्यिका CF, भुजा AB से F बिंदु पर मिलती है| इसिलिए, भुजा AB का F मध्य बिंदु है|

F=   4+6   ,  2+5   अर्थात् (5,  7  ) है|

         2           2                     2

अब, माध्यिका CF पर R एक ऐसा बिंदु है कि

CR:RF=2:1 है| अर्थात बिंदु R माध्यिका CF को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है| 

अत: बिंदु R के निर्देशांक 2×5 +1×1,2×7/2+1×4

                                       2+1            2+1

अर्थात   11   ,   11    है|

             3         3

(iv) यहाँ, हम देखते हैं उपर्युक्त तीनों ही स्थितियों में P, Q और R के निर्देशांक समान है| अत: P, Q और R संपाती है अर्थात एक ही बिंदु है| 

(v) यदि A(x1,y1), B(x2,y2) और C(x3,y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष है, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक 

   x1+x2+x3    ,   y1+y2+y3    

         3                         3

8. बिंदुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) से एक आयत ABCD बनता है| P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु है| क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक एक सम चतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए|

उत्तर:—

P के निर्देशांक=  -1-1   , -1+4  = -1, 3 

                          2           2           2

Q के निर्देशांक= -1+5  ,  4+4  =2, 4

                          2          2

R के निर्देशांक=  5+5  ,  4-1   =5,   3  

                          2        2             2

S के निर्देशांक= 5-1 ,  -1-1  =2, -1

                        2        2

PQ=√(2+1)2+(4- 3 )2=√(3)2+( 5  )2

                             2                     2

=√  61  

       4

QR=√(5-2)2+( 3  -4)2=√(3)2+( -5  )2

                         2                          2

=√  61  

        4

RS=√(2-5)2+(-1-  3  )2=√(-3)2+( -5 )2

                              2                        2

=√  61  

       4

SP=√(-1-2)2+(  3   +1)2=√(-3)2+( 5 )2

                          2                            2

=√  61  

       4

PQ=QR=RS=SP=√  61  

                                 4

PR=√(5+1)2+(  3   –   3  )2

                          2       2

=√(6)2+0=√36=6

QS=√(2-2)2+(-1-4)2

=√(0)2+(-5)2=√25=5

PR IS NOT EQUAL TO QS