प्रश्नावली-13.2
(जबतक अन्यथा न कहा जाए, π=22/7 लीजिए)
1. एक ठोस एक अर्द्ध गोले पर खड़ा एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएं 1 सेमी है तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है| इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
r=1cm h=1cm
ठोस का आयतन= अर्द्ध गोले का आयतन+ शंकु का आयतन
= 2 πr3+ 1 πr2h
3 3
= 2 π(1)3+ 1 π(1)2×1
3 3
= 2π + π = 2π+π = 3π =π
3 3 3 3
2. इंजीनियरिंग के एक विद्यार्थी रचेल से एक पतली अल्युमिनियम की शीट का उपयोग करते हुए एक माडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसकी दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हैं| इस माडल का व्यास 3 सेमी है और इसकी लंबाई 12 सेमी है| यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी हों तो रचेल द्वारा बनाए गए माडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए| (यह मान लीजिए कि माडल की आंतरिक और बाहरी विमाएं लगभग बराबर है|)
उत्तर:—
त्रिज्या=3/2cm
शंकु की ऊँचाई=2cm
बेलन की ऊँचाई=12-4=8cm
माडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन
= शंकु+बेलन+शंकु
= 1 πr2h1+πr2h2+ 1 πr2h1
3 3
=πr2( h1 +h2+ h1 )
3 3
= 22 × 3×3 ( 2 +8+ 2 )
7 2×2 3 3
= 22×9×28 =66cm3
7×4×3
3. एक गुलाब जामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है| 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाब जामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्ध गोलाकार है तथा इसकी लंबाई 5 सेमी और व्यास 2.8 सेमी है (देखें पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 272 की आकृति 13.15)
उत्तर:—
गुलाब जामुन की कुल लंबाई=5 सेमी
व्यास=2.8 सेमी त्रिज्या=2.8/2=1.4 सेमी
बेलन की लंबाई=5-2.8=2.2 सेमी
प्रत्येक गुलाब जामुन का आयतन=
(अर्द्ध गोले+बेलन+ अर्द्ध गोले )का आयतन
2 πr3+πr2h+ 2 πr3
3 3
πr2( 2 r+h+ 2 r)
3 3
22 ×(1.4)2( 2 ×1.4+2.2+ 2 ×1.4)
7 3 3
22 ×(1.4)2( 2.8 +2.2+ 2.8 )
7 3 3
22 ×1.96×( 12.2 )
7 3
22×0.28×12.2 = 75.152 =25.05
3 3
चूंकि 1 गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है| इसिलिए 25.05 सेमी3 में चीनी की चाशनी की मात्रा
=25.05+45× 30
100
=338.175 सेमी3=338 सेमी 3
4. एक कलम दान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं| घनाभ की विमाएं 15 सेमी× 10 सेमी× 3.5 सेमी है| प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 सेमी है और गहराई 1.4 सेमी है| पूरे कलम दान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
पूरे कलम दान में लगी लकड़ी का आयतन=
घनाभ का आयतन- चारों गड्ढे शंक्वाकार का आयतन
=lbb – 4× 1 πr2h
3
=15×10×3.5 – 4× 1 × 22 ×(0.5)2×1.4
3 7
=525 – 4×22×0.25×1.4
7×3
=525 – 1.47=523.53cm3
5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है| इसकी ऊंचाई 8 सेमी है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला है) की त्रिज्या 5 सेमी है| यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है| जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 सेमी त्रिज्या वाला एक गोली है, डाली जाती है, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है| बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियाँ की संख्या ज्ञात कीजिए|
उत्तर:–
N×गोले का आयतन= 1 ×शंकु का आयतन
4
N× 4 πr3= 1 × 1 πr2h
3 4 3
N×4×0.5×0.5×0.5= 1 ×5×5×8
4
N×4×0.125=50
N= 50 =100
4×0.125
6. ऊंचाई 220 सेमी और आधार व्यास 24 सेमी वाले एक बेलन, जिस पर ऊंचाई 60 सेमी और त्रिज्या 8 सेमी वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है| इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 सेमी3 लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 ग्राम होता है|(π=3.14 लीजिए)
उत्तर:—
h1=220cm r1=24/2=12cm
h2=60cm r2=8cm
स्तंभ का कुल आयतन= निचले बेलन का आयतन+ आरोपित बेलन का आयतन
π(r1)2h1+π(r2)2h2
π{(r1)2h1+(r2)2h2}
3.14(12×12×220+8×8×60)
3.14(31680+3840)
3.14×35520=111532.8cm3
चूंकि 1 सेमी 3 लोहे का द्रव्यमान 8 ग्रा
111532.8cm3 —– ——-
111532.8×8=892.258=892.26 किग्रा
7. एक ठोस में, ऊंचाई 120 सेमी और त्रिज्या 60 सेमी वाला एक शंकु सम्मिलित हैं, जो 60 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्द्ध गोले पर आरोपित है| इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंबी वृतीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करें| यदि बेलन की त्रिज्या 60 सेमी है और ऊंचाई 180 सेमी है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
r1=60 h1=120
r2=60 h2=180
बेलन में शेष बचे का आयतन=
बेलन का आयतन-( शंकु का आयतन+ अर्द्ध गोले का आयतन)
π(r1)2h1 – ( 1 π(r1)2h2+ 2 π(r1)3}
3 3
π(r1)2{h1 – ( 1 h2+ 2 r)}
3 3
22 ×60×60(120-( 180 + 2×60 )
7 3 3
22×60×60 (120-60-40)
7
22×3600×100 = 7920000 =1.131m3
7 7
8. गोलाकार कांच के एक बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 सेमी है और व्यास 2 सेमी है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 सेमी है| इसमें भरे जा सकने वाले पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 सेमी 3 है| जांच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त मापन आंतरिक मापन है और π=3.14|
उत्तर:—
r1=8.5/2=4.25cm
h=8cm r2=2/2=1
इस कांच के बर्तन का आयतन= गोलाकार भाग का आयतन- बेलन का आयतन
= 4 π(r1)3+π(r1)2h1
3
=π( 4 (r1)3+(r1)2h1)
3
=π( 4 ×(4.25)3+(1)2×8)
3
=3.14( 4×76.765625 +8)
3
=3.14(102.35417+8)
=3.14×110.35417=346.51208cm3
=346.51cm3
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