प्रश्नावली-13.3
( जब तक अन्यथा न कहा जाए, π=22/7 लीजिए)
1. त्रिज्या 4.2 सेमी वाली धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 सेमी वाले एक बेलन के रूप में ढ़ाला जाता है| बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
r1=4.2cm r2=6cm
बेलन का आयतन= गोले का आयतन
π(r2)2h= 4 π(r1)3
3
6×6×h= 4 ×4.2×4.2×4.2
3
3×6×6h=4×4.2×4.2×4.2
h= 4×4.2×4.2×4.2 =296.352=2.74
3×36 108
2. क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्याओं वाली धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है| इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
r1=6cm r2=8cm r3=10cm
4 π{(r1)3+(r2)3+(r3)3}= 4 πR3
3 3
(6)3+(8)3+(10)3=R3
216+512+1000=R3
1728=R3
12×12×12=R3 R=12cm
3. व्यास 7 मी वाला 20 मी गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मी × 14 मी वाला एक चबूतरा बनाया गया है| इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|
उत्तर::–
व्यास=7 सेमी त्रिज्या=7/2 सेमी ऊँचाई=20
बेलन का आयतन= चबूतरे का आयतन
πr2h=lbh
22 × 7 × 7 ×20=22×14×h
7 2 2
11×7×10=22×14h
h= 11×7×10 =2.5
22×14
4. व्यास 3 मी का एक कुआँ 14 मी की गहराई तक खोदा जाता है| इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 मी चौड़ी एक वृत्ताकार वलय बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बांध बनाया जाता है| इस बांध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
व्यास=3 मी त्रिज्या=3/2 मी, ऊँचाई=14 मी
R2=4+3/2=11/2
बेलन का आयतन= वलय का आयतन
πr2h=π(R2-r2)h
3 × 3 ×14=( 11×11 – 3×3 )h
2 2 2×2 2×2
3×3×14 = 121-9 ×h
4 4
126=112h h=126/112=1.125m
5. व्यास 12 सेमी और ऊंचाई 15 सेमी वाले एक लंबी वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है| इस आइसक्रीम को ऊंचाई 12 सेमी और व्यास 6 सेमी वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्ध गोलाकार होगा| उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं|
उत्तर:–
r1=12/2=6cm h1=15cm
r2=3cm h2=12cm
शंकु का आयतन+ अर्द्ध गोले का आयतन= बेलन का आयतन
1 π(r2)2h2+ 2 π(r2)3=π(r1)2h1
3 3
1 π×3×3×12+ 2 π×3×3×3=π6×6×15
3 3
108π + 54π =540π
3 3
162π =540π
3
N= 540×3×π =10
162π
6. विमाओं 5.5 सेमी× 10 सेमी×3.5 सेमी वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75 सेमी व्यास और 2mm मोटाई वाले कितने चांदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
उत्तर:—
व्यास=1.75cm त्रिज्या=1.75/2=0.875cm
ऊंचाई=2mm=0.2cm
N= घनाभ का आयतन =
एक सिक्का का आयतन
= lbh = 5.5×10×3.5
πr2h 22 ×0.85×0.875×0.2
7
192.5 = 19250000 =400
0.48125 48125
7. 32 सेमी ऊंची और आधार त्रिज्या 18 सेमी वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है| इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है| यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 सेमी है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊंचाई ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
h1=32cm r1=18cm
h2=24cm r2=
बेलन का आयतन=शंकु का आयतन
π(r1)2h1= 1 π(r2)2h2
3
18×18×32= 1 ×24×(r2)2
3
(r2)2= 18×18×32×3 =1296
24
(r2)2=1296
(r2)2=36×36 r2=36
l=√h2+r2=√(24)2+(36)2=√576+1296
=√1872=12√13
8. 6 मी चौड़ी और 1.5 मी गहरी एक नहर में पानी 10km/h की चाल से बह रहा है| 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 सेमी गहरे पानी की आवश्यकता होती है|
उत्तर:—
नहर की चौड़ाई =6m गहराई=1.5m
नहर में 1 घंटा में 10 किमी लंबाई का पानी बहता है|
नहर में 30 मिनट में बहा पानी की लंबाई
l=5km=5000m
30 मिनट में, नहर में बहे पानी की आयतन
lbh=5000×6×1.5=45000
सिंचाई के लिए आवश्यक पानी की गहराई
=8cm=0.08cm
नहर से 30 मिनट में बहे पानी में सिंचाई किया गया अभीष्ट क्षेत्रफल=
30 मिनट में बहे पानी का आयतन
आवश्यक पानी की गहराई
= 45000 = 4500000 =562500m2
0.08 8
=56.25 hectare
9. एक किसान अपने खेत में बनी 10 मी व्यास वाली और 2 मी गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 सेमी वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है| यदि पाइप में पानी 3 किमी/घंटा की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद पूरी टंकी भर जाएगी|
उत्तर:—-
बेलनाकार टंकी का व्यास=10m
त्रिज्या=10/2=5m
गहराई=2m
टंकी का आयतन=πr2h
=π×5×5×2=50πm2
=50000000πcm3
उस पाइप का व्यास, जिससे इस टंकी को जोड़ा जाना है, 20m, r1=20/2=10m
एक घंटे में पाइप द्वारा भरे जाने वाले पानी की
लंबाई=3×1000×100=300000cm
1 घंटा में बहे पानी का आयतन=π(r1)2h1
=π×10×10×300000
टंकी को पूरा भरने के लिए आवश्यक समय
= 50000000πcm3 = 5 hours
30000000πcm3 3
5 ×60 minutes=5×20=100min
3
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