Bharti Bhawan Class-9 Math Heron's Formula And It's Application Solution Exercise-13B

                           प्रश्नावली-13B

1. नीचे दिए गए आकृति का क्षेत्रफल निकाले-

उत्तर:—

AC मिलाया

समकोण ∆ABC में, 

AC=√(BC)2+(AB)2

=√(40)2+(30)2

=√1600+900=√2500=50

ABC का क्षेत्रफल=  1   ×30×40=600

                            2

ABC, 

S=  50+50+60   =  160   =80

               2                2

DCA का क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√80(80-50)(80-50)(80-60)

=√80×30×30×20

=√2×2×2×2×5×2×5×3×2×5×3×2×2×5

=2×2×2×2×5×5×3=1200

कुल आकृति का क्षेत्रफल=1200+600=1800

2. नीचे दिए गए आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें-

उत्तर:—-

दी गई आकृति ABCD में AC को मिलाया

ABC में, 

AC=√(AB)2+(BC)2=√(5)2+(12)2

√25+144=√169=13

ABC का क्षेत्रफल=  1   ×12×6=6×5=30

                              2

ACD, 

S=   a+b+c   =  13+13+10   =  36  =18

           2                    2                2

ACD का क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√18(18-13)(18-13)(18-10) 

=√18×5×5×8=√5×5×3×2×3×2×2×2×2

=5×3×2×2=60

कुल आकृति का क्षेत्रफल= 60+30=90

3.(a)एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ और विकर्ण क्रम से 13 मी, 14 मी और 15 मी है तो इसका क्षेत्रफल निकालिए—-

उत्तर:—-

माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसका विकर्ण 15m है|

ABC, 

S=  a+b+c  =  13+15+14   =  42   =21

           2                  2                2

ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√21(21-13)(21-15)(21-14)

=√21×8×6×7=√7×3×2×2×2×2×3×7

=2×2×3×7=84

ar∆ABC=ar∆ACD=84×2=168

(b) एक समांतर चतुर्भुजाकार आंगन की दो आसन्न भुजाएँ 26 मी और 28 मी है तथा इसका एक विकर्ण 30 मी है तो 75 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से आंगन में पत्थर बिछाने का खर्च निकालिए—–

उत्तर:—–

माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC=30 है|

ABC, 

S=   a+b+c    =  26+30+28   =  84  =42

           2                    2                 2

ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√42(42-26)(42-30)(42-28) 

=√42×16×12×14

=√7×2×3×2×2×2×2×2×2×3×2×7

=7×2×2×2×2×3=336

समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

=2×336=672

1 m2 पत्थर बिछाने का खर्च 75

672 m2 पत्थर बिछाने का खर्च

=672×75=50, 400

4.(a) एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ क्रम से 50 मी और 33 मी है तिर्यक भुजाएँ 26 मी तथा 25 मी है| इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें-

उत्तर:-

माना कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है| जिसकी समांतर भुजाएँ AB तथा CD है|

AB=EF=33

FD=X

CE=50-(33+X)=17-X

BFD, 

(BF)2=(26)2-(X)2

BF=676 – X2    ——(1) 

ACE, 

(AE)2=  (25)2-(17-X)2

(AE)2=625 -{(17)2-2×17×X+(X)2}

(AE)2=625-(289-34X+X2) 

(AE)2=625-289+34X-X2

(AE)2=336-X2+34X    ——-(2) 

From eq (1) &(2) 

676-x2=336-x2+34x

676-336=34x

340=34x      x=340/34=10

ACE, 

AE=√(25)2-(7)2=√625-49=√576=24

BED, 

BF=√(26)2-(10)2=√676-100=√576=24

BFD क्षेत्रफल=  1   ×10×24=120

                       2

ACF क्षेत्रफल=  1   ×7×24=84

                        2

आयताकार भाग AEBF का क्षेत्रफल=लंबाई×चौड़ाई

             =33×24=792

समलंब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

=792+84+120=996

(b) एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ क्रम से 46 मी और 25 मी है और अन्य दो भुजाएँ 20 मी और 13 मी है, तो क्षेत्रफल मालूम करें-

उत्तर:-

माना कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी भुजा AB तथा CD समांतर है|

FD=x

CF=46-(25+x) =21-x

∆ACE, 

(AE)2=(AC)2-(CE)2=(20)2-(21-x)2

400-(441-2×21×x+x2)

=400-(441-42x+x2) 

=400-441+42x-x2  ——-(1) 

∆BFD, 

(BF)2=(BD)2-(FD)2=(13)2-x2

169-x2   ———-(2) 

From eq (1) &(2) 

400-441+42x-x2=169-x2

-41+42x=169

42x=169+41=210

x=210/42=5

BFD,   BF=(BD)2-(FD)2

ACE,      AE=(AC)2-(CF)2

√(20)2-(16)2=√400-256=√144=12

∆ACE क्षेत्रफल  =  1   ×16×12=96

                            2

∆BED क्षेत्रफल=  1   ×5×12=30

                          2

आयताकार भाग ABEF का क्षेत्रफल= लंबाई× चौड़ाई

            =25×12=300

कुल आकृति का क्षेत्रफल=300+30+96=426

5.(a) एक सम चतुर्भुजाकार लान में 2 घोड़ों के चरने के लिए घास है| यदि इस समय चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 13 मी है और बड़ा विकर्ण 24 मी है, तो प्रत्येक घोड़ा को चरने के लिए इस लान का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा|

उत्तर:::—-

माना कि ABCD एक सम चतुर्भुज है| जिसका विकर्ण BC=24 है| CO=OB=12

AOB, 

AO=√(13)2-(12)2=√169-144=√25=5

∆AOB=  1   ×12×5=30

               2

 सम चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल=30×4=120

2 घोड़ा पूरे घास को चरता है|

1 घोड़ा के द्वारा चरा गया क्षेत्रफल=  120  =60

                                                   2

(b) एक सम चतुर्भुज की परिमिति 100m है और छोटा विकर्ण 14m है तो इसका (i) बड़ा विकर्ण (ii)क्षेत्रफल (iii) ऊंचाई ज्ञात करें-

Answer:—–

माना कि ABCD एक सम चतुर्भुज है| जिसका छोटा विकर्ण AD=14 है|

AO=DD=7

AC+CD+BD+AB=100

AC+AC+AC+AC=100

AC=100

AC=  100   =25

            4

AOB, 

BO=√(AB)2-(OA)2=√(25)2-(7)2

√625-49=√576=24

बडा़ विकर्ण=2×24=48

AOB क्षेत्रफल= 1  ×24×7=84

                       2

सम चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल=84×4=336

सम चतुर्भुज की ऊँचाई= क्षेत्रफल =  336  

                                   भुजा         25

6.(a) एक त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज का आधार एक ही है एवं क्षेत्रफल भी एक ही है| यदि त्रिभुज की भुजाएँ 45cm,200cm और 205cm है तथा समांतर चतुर्भुज 200cm के आधार पर स्थित है तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात करें-

उत्तर:—

माना कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा CED एक त्रिभुज है| जो CD भुजा पर स्थित है|

ECD, 

S=a+b+c= 200+205+45  =  450   =225

        2                   2                  2

ECD क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)

=√225(225-200)(225-205)(225-45)

=√225×25×20×180

=√5×5×3×3×5×5×2×2×5×3×3×2×2×5

=5×5×5×3×3×2×2=4500

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल= आधार×संगत ऊंचाई

4500=200× ऊंचाई

ऊंचाई=4500/200=45/2=22.5

(b) एक त्रिभुज और एक आयत का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है| यदि त्रिभुज की भुजाएँ 25m, 29m और 56m हो तथा आयत 29m के आधार पर स्थित हो तो उसकी अन्य भुजा को ज्ञात करें-

उत्तर:—-

माना कि ABCD एक आयत है| तथा ECD एक त्रिभुज है जो एक ही आधार CD पर स्थित है|

ECD, 

S=  a+b+c   =  39+56+25  =  120  =60

           2                   2                2

ECD क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√60(60-39)(60-56)(60-25) 

=√60×21×4×35

=√5×2×2×3×3×7×2×2×7×5

=2×2×5×7×3=420

आयताकार भाग ABCD का क्षेत्रफल=आधार× ऊंचाई 

420=39×AC

AC=420/39=140/13

7. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 8 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है, जिसे बगल की आकृति में दिखाया गया है|प्रत्येक टुकड़े की माप 25cm, 39cm और 56cm है|छाते में प्रत्येक रंग का कितना लगा है|

उत्तर:—-

     

S= a+b+c  = 56+39+25  = 120 =60

          2                 2               2

एक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल=

√s(s-a)(s-b)(s-c)

=√60(60-56)(60-39)(60-25)

=√60×4×21×35

=√2×2×3×5×2×2×3×7×7×5

=2×2×3×5×7=420

8 त्रिभुजाकार टुकड़े को सील कर छाता बनाया गया है इसलिए कुल कपड़े का क्षेत्रफल

=8×420=3360

छाता दो रंग के कपड़े का बना है|

प्रत्येक रंग के कपड़े का क्षेत्रफल= 3360  =1680

                                                  2

8.बगल की आकृति में एक वर्ग है, जिसके एक विकर्ण की लंबाई है| और एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें और है| आकृति का कुल क्षेत्रफल निकाले-

उत्तर:—-

ABCD एक वर्ग है|    

CA=32

वर्ग का विकर्ण =√2×भुजा

32=√2×भुजा

भुजा=32/√2=16√2

वर्ग ABCD का क्षेत्रफल =(भुजा)2

(16√2)2=16×16×√2×√2=256×2=512

समद्विबाहु त्रिभुज का अर्द्ध परिमिति

S=  a+b+c   =   6+6+8    =   20   =10

           2                 2               2

APQ क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c)

=√10(10-6)(10-6)(10-8) 

=√10×4×4×2

=4×2√5=8√5

कुल आकृति का क्षेत्रफल 

=512+8√5