Bharti Bhawan Class-9 Math Heron's Formula And It's Application Solution Exercise-13A

                      प्रश्नावली-13A

1. रिक्त स्थानों की पूर्ति उचित अंक/अक्षर या शब्द से करें—-

(i)त्रिभुज का क्षेत्रफल=  1  ×आधार×संगत..

                                 2         

(ii)हीरोन के सूत्र के द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल=√….(s-a)(s-b)(s-c) जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ है तथा त्रिभुज की ऊर्धपरिमिति है|

(iii)त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 ×….×ऊंचाई

                                   2

(iv)त्रिभुज क्षेत्रफल=(….)आधार×संगत ऊंचाई

(v)यदि a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हो तो

    a+b+c     

——————

 त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप=

(vi)यदि a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हो तो a+b+c=त्रिभुज का———-

Answer:—-

(i)ऊंचाई(ii)5(iii)आधार(iv)1/2(v)2(vi)परिमाप

2.रिक्त स्थानों की पूर्ति उचित अंकों से कीजिये-

(i)यदि किसी त्रिभुज का आधार=5cm और ऊंचाई=12cm तो त्रिभुज का क्षेत्रफल=…. Cm2

(ii)यदि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल=60cm2 एवं त्रिभुज की ऊँचाई=5cm तो त्रिभुज का आधार=…. CM

(iii)यदि किसी त्रिभुज का आधार=50cm और त्रिभुज का क्षेत्रफल=625cm2 तो त्रिभुज की ऊँचाई=… 

(iv)यदि किसी समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा=10cm तो उसकी ऊँचाई=…cm और त्रिभुज=…. Cm2

(v)यदि किसी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई=100√3m तो उसकी प्रत्येक भुजा=…..cm और त्रिभुज का क्षेत्रफल=…… m2

Answer:—–

(i)  1   ×12×5=30

      2

(ii) Height=   2×60   =24

                         5

(iii)   625×2   =  625   =25

            50            25

(iv) √(10)2-(5)2=√100-25=5√3

Area=   √3   ×10×10=  50√3  =25√3

              2

(v)  √3  a=height      √3  a=10√3

        2                         2

a=   200√3  =200

          √3

3.(i) यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण बनाने वाली भुजाएँ 10m और 12m है तो उस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-

Answer:-

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1 ×AB×BC

                                         2

  1   ×10×12=12×5=60

  2

(ii)हीरोन के सूत्र के प्रयोग के बिना उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 5cm,12cm, 13cm है|

Answer:—–

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1 ×AB×BC

                                         2

  1  ×12×5=6×5=30

  2

4. किसी समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है और समकोण बनाने वाली एक भुजा है तो दूसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करें-

Answer:—-

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=  1   ×AB×BC

                                          2

25=  1   ×x×20

         2

25×2=20x

50=20x

x=  50  =2.5

      20

5. उस त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 40m, 24m और 32m है|

Answer:—-

S=  a+b+c   =  40+32+24   =  96  =48

         2                     2               2

∆ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√48(48-40)(48-32)(48-24)

=√48×8×16×24

=√2×2×2×2×3×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3

=2×2×2×2×2×2×2×3=384

6. उस त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ 120m, 80m और 50m है| एक ओर 10m चौड़े फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर ₹50 प्रति मीटर की दर से बांध लगाने का खर्च निकाले-

Answer:——

S=   a+b+c    

           2

   120+80+50    =   250   =125

          2                      2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√125(125-120)(125-80)(125-50) 

=√125×5×45×75

√5×5×5×5×3×3×5×3×5×5

375√15

परिमित=a+b+c=120+80+50=250

बाड़ लगाने का खर्च=(250-10)×50

240×50=12000

7.(a) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी दो भुजाएँ 18cm और 10cm है और जिसका परिमाप 42cm है|

Answer:—-

S=a+b+c

42=18+10+c    c=42-18-10=14

S=    a+b+c   =   18+14+10   

            2                     2

  42   =21

   2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

√21(21-18)(21-14)(21-10) 

√21×3×7×11

√7×3×3×7×11=3×7√11=21√11

(b) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके दो भुजाएँ 8cm और 11cmहै और जिसका परिमाप 32cmहै|

Answer:—-

S=a+b+c

32=8+11+c    c=32-11-8=13

S=   a+b+c    = 13+11+8  = 32 =16

            2                  2            2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√16(16-13)(16-11)(16-8) 

=√16×3×5×8

=√2×2×2×2×3×5×2×2×2

=2×2×2√30=8√3

8. हीरोन के सूत्र के प्रयोग से उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी प्रत्येक भुजा 10cm है|

Answer:—-

AB=BC=AC=10

S=   a+b+c   =  10+10+10  = 30 =15

            2                   2              2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√15(15-10)(15-10)(15-10)

=√15×5×5×5=√5×3×5×5×5=25√3

9. हीरोन की सूत्र की सहायता से उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर है और त्रिभुज का परिमाप 180cm है|

Answer:—–

AB+BC+AC=180

AB=BC=AC=60

S=   a+b+c    

           2

    60+60+60    =   180    =90

           2                    2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√90(90-60)(90-60)(90-60) 

=√90×30×30×30

=√3×30×30×30×30=30×30√3

900√3

10. (i) किसी त्रिभुज की भुजाएँ 3:5:7 के अनुपात में है| इसकी परिमित 300m है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-

Answer:—–

Let  3x,   5x,   7x

3x+5x+7x=300

15x=300   x=300/15=20

a=3x=3×20=60

b=5x=5×20=100

c=7x=7×20=140

S=  a+b+c   =   60+100+140   

           2                     2

   300   =150

     2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√150(150-60)(150-100)(150-140) 

=√150×90×50×10

=√5×5×3×2×2×5×2×5×5×3×3×2×5

=5×5×5×2×2×3=1500

(ii) एक त्रिभुज की भुजाएँ 13:14:15 के अनुपात में है और इसकी अर्धपरिमिति 105 है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-

Answer:—-

13x,   14x,     15x

S=   a+b+c    

            2

13x+14x+15x=105

          2

    42x    =105

     2

21x=105      x=105/21=5

a=13×5=65

b=14×5=70

c=15×5=75

S=a+b+c=65+70+75=210=105

        2               2            2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√105(105-65)(105-75)(105-70) 

=√105×40×30×35

=√3×7×5×5×2×2×2×2×3×5×5×7

=3×7×5×5×2×2=2100

11.(a) एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 15m और 20m है| तथा त्रिभुज की परिमिति 60m है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें-

Answer:——

S=a+b+c

60=15+20+c   c=60-15-20=25

S=  a+b+c   =  15+20+25   =  60  =30

           2                    2               2  

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√30(30-15)(30-20)30-25) 

=√30×15×10×5

=√3×5×2×3×5×5×2×5

=2×3×5×5=150

(b) किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 68m और 75m है| तथा इसकी अ अर्द्धपरिमिति 110m है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाले-

Answer:—-

S=   a+b+c    

             2

110=   68+75+c    

                   2

220=123+c    c=220-143=77

S=a+b+c=77+68+75 =220=110

         2              2             2

क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√110(110-77)(110-68)(110-75) 

=√110×33×35×42

=√2×5×11×11×3×7×5×7×3×2

=2×5×11×7×3=2310

12.(a) एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रम से 51m,52m और 53m है| 52m की भुजा पर उसके सामने के शीर्ष से लंब खींचने से जो दो त्रिभुज बनते हैं, उसका क्षेत्रफल अलग अलग निकालिए—–

Answer:—-

माना कि ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB=51m, BC=52m तथा AC=53m है AD लंब BC डाला

      BD=CD=26m

इस प्रकार दो अभीष्ट त्रिभुज ABD और ADC मिलते हैं|

S=  a+b+c   =  51+52+53  =  156  =78 

            2                  2                2

ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√78(78-52)(78-53)(78-51) 

=√78×26×25×27

=√13×3×2×13×2×5×5×3×3×3

13×3×3×5×2=1170

ABC क्षेत्रफल=  1  ×BC×AD

                        2

1170=   1    ×52×AD

              2

AD=  1170×2  =  1170   =45

               52            26

ABD, 

BD=√(AB)2-(AD)2=√(51)2-(45)2

√2601-2025=√576=24

ABD क्षेत्रफल=  1   ×24×45=12×45=540

                        2

ADC, 

DC=(AC)2-(AD)2

√(53)2-(45)2=√2809-2025

=√784=28

ADC क्षेत्रफल=  1  ×28×45=14×45=630

                       2 

(b) एक त्रिभुज की भुजाएँ 21m, 20m और 13m है| सबसे बड़ी भुजा पर उसके सामने के शीर्ष से लंब खींचने पर जो त्रिभुज बनते हैं उनके क्षेत्रफल अलग अलग निकालिए-

Answer:-;—

S=  a+b+c   =  21+20+13   =  54  =27

           2                    2               2

ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√27(27-21)(27-20)(27-13)

=√27×6×7×14

=√3×3×3×3×2×7×2×7

=3×3×2×7=126

ABC क्षेत्रफल=  1   ×21×h

                       2

126=     1      ×21×h

              2

H=   126×2   =2×6=12

            21

आधार=√(कर्ण)2-(लंब)2=√(13)2-(12)2

√169-144=√25=5

ABD क्षेत्रफल=  1  ×5×12=6×5=30

                        2

ACD, 

आधार=√(कर्ण)2-(लंब)2=√(20)2-(12)2

√400-144=√256=16

ACD क्षेत्रफल=  1   ×16×12=16×6=96

                        2

13. एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं में से प्रत्येक 25m और आधार 30m है तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें-

Answer:—–

AB=AC=25          BC=30

S=   a+b+c    =  30+25+25   = 80  =40

            2                    2                2

 ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

=√40(40-25)(40-25)(40-30) 

=√40×15×15×10

=√2×2×2×5×3×5×3×5×5×2

=2×2×5×5×3=300

14.(a) किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण 800√2cm है| तो उसका क्षेत्रफल निकाले-

Answer:—-

AB=BC=x

(AC)2=(AB)2+(BC)2

(800√2)2=x2+x2

(800√2)2=2×2

800√2×800√2=2×2

x2=   800×800×2    =640000

                  2

x=√640000=800

ABC क्षेत्रफल=  1   ×800×800

                        2

400×800=320000

(b) किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 200cm2 है तो कर्ण लंबाई बताएं—–

उत्तर:—–

AB=AC=x

क्षेत्रफल=  1   ×x×x

               2

200=  1  ×(x)2

           2

200×2=(x)2

400=(x)2      x=√400=20

AB=AC=20cm

AC=(AB)2+(AC)2

=√(20)2+(20)2

=√400+400=√800=20√2cm

15. एक त्रिभुज की भुजाएँ 3cm, 4cm तथा 6cm है| दूसरे त्रिभुज की भुजाएँ 9cm,12cm तथा 18cm है| इन भुजाओं के क्षेत्रफलों का क्या अनुपात है|

ABC, 

S=   a+b+c   =  4+6+3   =   13   

           2                 2             2

ABC क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

√  13   (  13   -4)(  13  -6)(  13   -3) 

      2        2             2             2

√  13  (  13-8   )(  13-12   )(  13-6   )

     2          2               2             2

√  13   ×  10   ×  1    ×   7   

      2         2         2        2

DEF, 

S=   a+b+c    =  12+18+19  =  39  

            2                    2               2

DEF क्षेत्रफल=√s(s-a)(s-b)(s-c) 

√ 39  (  39   -12)(  39   -18)( 39  -9)

     2       2                2              2   

√  39  (  39-24  )( 39-36  )(  39-18  ) 

     2          2               2             2

√  39  ×  15   ×  3   ×  21   

      2         2        2        2

  ar∆ABC  

  ar∆DEF

√13 ×(10)× 1 × 7  ×  2  ×    2   ×  2  ×  2  

    2       2       2    2  (39)  (15)    3     (21)

√          1         =      1     = 1  =1:9

       3×3×3×3         3×3     9

16. किसी समकोण त्रिभुज की छोटी भुजाएँ 4cm, और 3cm है तो समकोण के शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई निकाले-

उत्तर:-

माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है| B से AC पर लंब BD| तो BD=? 

ABC, 

(AC)2=(AB)2+(BC)2

√(4)2+(3)2=√16+9=√25=5

क्षेत्रफल ABC=  1   ×3×4=6

                        2

ABC क्षेत्रफल=  1   ×AC×BD

                        2

6=  1   ×5×BD

      2

12=5D

D=12/5=2.4