प्रश्नावली-2.4(ऐच्छिक)
1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसके शून्यक है| प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए:
(i)2×3+x2-5x+2; 1 , 1, -2
2
Answer:—–
2×3+x2-5x+2
ax3+bx2+cx+d
a=2 b=1 c=-5 d=2
p( 1 )= 2×( 1 )3+( 1 )2-5× 1 +2
2 2 2 2
=2× 1 + 1 – 5 + 2
8 4 2
= 1 + 1 – 5 +2
4 4 2
= 1+1-10+8 = 0 =0
4 4
p(x)=2×3+x2-5x+2
p(1)=2×(1)3+(1)2-5×1+2
=2+1-5+2=0
p(-2)=2×(-2)3+(-2)2-5×(-2)+2
=-16+4+10+2=-16+16=0
a= 1 b=1 Y=-2
2
a+b+Y= 1 + 1 -2= 1+2-4 = – 1 = -b
2 2 2 a
ab+bY+Ya= 1 ×1+1×(-2)+(-2)× 1
2 2
= 1 – 2 -1= -5 = c
2 2 a
a•b•Y= 1 ×1×(-2)= -2 = -d
2 2 a
(ii) x3-4×2+5x-2; 2,1,1
Answer:—–
x3-4×2+5x-2
ax3+bx2+cx+d
a=1 b=-4 c=5 d=-2
p(x)=x3-4×2+5x-2
p(2)=(2)3-4×(2)2+5×2-2
=8-16+10-2=18-18=0
p(1)=(1)3-4×(1)2+5×1-2
=1-4+5-2=6-6=0
p(1)=(1)3-4×(1)2+5×1-2
=1-4+5-2=0
a=2 b=1 Y=1
a+b+Y=2+1+1=4=-(-4)= -b
a
a•b+b•Y+Y•a
=2×1+1×1+1×2=2+1+2=5= c
a
a•b•Y=2×1×1=2= -(-2) = -d
a
2. एक द्विघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणन फलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7, -14 हों|
उत्तर:—-
ax3+bx2+cx+d
a+b+Y=2=-(-2)= -b
a
a•b+b•Y+Y•a=-7= c
a
a•b•Y=-14= d
a
3. यदि बहुपद x3-3×2+x+1 के शून्यक a-b, a, a+b हों तो a और b ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
x3-3×2+x+1
a=a-b
b=a
Y=a+b
ax3+bx2+cx+d
a=1 b=-3 c=1 d=1
a+b+Y=a-b+a+a+b= -b = -(-3) =3
a 1
3a=3 a=1
a•b+b•Y+Y•a
=(a-b)×a+a×(a+b)+(a+b)(a-b)
= c = 1 =1
a 1
a2-ab+a2+ab+a2-b2=1
3a2-b2=1
3(1)2-b2=1
-b2=1-3=-2
b2=2
b=+-√2 a=1 b=+-√2
4. यदि बहुपद x4-6×3-26×2+138x-35 के दो शून्यक 2+√3, 2-√3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—-
दो शून्यक:— 2+√3 और 2-√3
{x-(2+√3)}{x-(2-√3)}
=(x-2 -√3)(x-2 +√3)
=(x-2)2-(√3)2
=x2-4x+4-3=x2-4x+1
x2-2x-35
x2-4x+1)x4-6×3-26×2+138x-35
x4-4×3+x2
-2×3-27×2+138x
-2×3+8×2 -2x
-35×2+140x-35
-35×2+140x-35
0
x2-2x-35
x2+5x-7x-35
x(x+5)-7(x+5)
(x+5)(x-7)
x+5=0 x-7=0
x=-5 x=7
5. यदि बहुपद x4-6×3+16×2-25x+10 को एक अन्य बहुपद x2-2x+k से भाग दिया जाए और शेषफल x+a आता हों, तो k तथा a ज्ञात कीजिए|
Answer:—-
x2-4x+(8-k)
x2-2x+k)x4-6×3+16×2-25x+10
x4 -2×3+kx2
-4×3+(16-k)x2-25x
-4×3+8×2 -4kx
(8-k)x2+(4k-25)x+10
(8-k)x2-2(8-k)+(8-k)k
(2k-9)x-(8-k)k+10
2k-9=1 -(8-k)k+10=a
2k=10 -(8-5)×5+10=a
k=5 -15+10=a, a=-5
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