NCERT/Bihar Board Class-10 Math Polynomials Solution Exercise-2.4

                 प्रश्नावली-2.4(ऐच्छिक) 

1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसके शून्यक है| प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए:

(i)2×3+x2-5x+2;   1   , 1, -2

                               2

Answer:—–

2×3+x2-5x+2

ax3+bx2+cx+d

a=2    b=1    c=-5      d=2

p(  1   )= 2×( 1  )3+( 1 )2-5× 1 +2

      2              2          2           2

=2×  1     +    1    –   5   + 2

         8           4        2

=  1    +     1     –   5    +2

    4           4          2

=   1+1-10+8    =  0   =0

            4               4

p(x)=2×3+x2-5x+2

p(1)=2×(1)3+(1)2-5×1+2

       =2+1-5+2=0

p(-2)=2×(-2)3+(-2)2-5×(-2)+2

        =-16+4+10+2=-16+16=0

a=   1        b=1       Y=-2

       2

a+b+Y=  1   + 1 -2= 1+2-4  = –  1 = -b  

               2                     2           2     a

ab+bY+Ya=  1  ×1+1×(-2)+(-2)×  1  

                      2                               2

     =  1    – 2 -1=   -5    =   c  

         2                   2         a

a•b•Y=  1   ×1×(-2)=  -2    =  -d     

              2                    2         a

(ii) x3-4×2+5x-2;   2,1,1

Answer:—–

x3-4×2+5x-2

ax3+bx2+cx+d

a=1       b=-4      c=5       d=-2

p(x)=x3-4×2+5x-2

p(2)=(2)3-4×(2)2+5×2-2

       =8-16+10-2=18-18=0

p(1)=(1)3-4×(1)2+5×1-2

       =1-4+5-2=6-6=0

p(1)=(1)3-4×(1)2+5×1-2

       =1-4+5-2=0

a=2      b=1      Y=1

a+b+Y=2+1+1=4=-(-4)=  -b   

                                           a

a•b+b•Y+Y•a

=2×1+1×1+1×2=2+1+2=5=   c   

                                                 a

a•b•Y=2×1×1=2=  -(-2) =  -d    

                                            a

2. एक द्विघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणन फलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2,-7, -14 हों|

उत्तर:—-

ax3+bx2+cx+d

a+b+Y=2=-(-2)=  -b   

                              a

a•b+b•Y+Y•a=-7=  c   

                               a

a•b•Y=-14=  d   

                     a

3. यदि बहुपद x3-3×2+x+1 के शून्यक a-b, a, a+b हों तो a और b ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

x3-3×2+x+1     

a=a-b

b=a

Y=a+b

ax3+bx2+cx+d

a=1      b=-3       c=1      d=1

a+b+Y=a-b+a+a+b= -b  = -(-3) =3

                                    a        1

3a=3         a=1

a•b+b•Y+Y•a

=(a-b)×a+a×(a+b)+(a+b)(a-b) 

=  c  =  1    =1   

    a      1

a2-ab+a2+ab+a2-b2=1

3a2-b2=1

3(1)2-b2=1

-b2=1-3=-2

b2=2

b=+-√2           a=1       b=+-√2

4. यदि बहुपद x4-6×3-26×2+138x-35 के दो शून्यक 2+√3, 2-√3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

दो शून्यक:—  2+√3 और  2-√3

  {x-(2+√3)}{x-(2-√3)}

=(x-2 -√3)(x-2 +√3) 

=(x-2)2-(√3)2

=x2-4x+4-3=x2-4x+1

               x2-2x-35                      

x2-4x+1)x4-6×3-26×2+138x-35

               x4-4×3+x2              

                   -2×3-27×2+138x

                   -2×3+8×2 -2x         

                        -35×2+140x-35

                        -35×2+140x-35  

                                0                 

x2-2x-35

x2+5x-7x-35

x(x+5)-7(x+5) 

(x+5)(x-7) 

x+5=0      x-7=0

x=-5            x=7

5. यदि बहुपद x4-6×3+16×2-25x+10 को एक अन्य बहुपद x2-2x+k से भाग दिया जाए और शेषफल x+a आता हों, तो k तथा a ज्ञात कीजिए|

Answer:—-

                  x2-4x+(8-k)               

x2-2x+k)x4-6×3+16×2-25x+10

              x4 -2×3+kx2                 

                   -4×3+(16-k)x2-25x

                   -4×3+8×2       -4kx     

                  (8-k)x2+(4k-25)x+10

                  (8-k)x2-2(8-k)+(8-k)k 

                       (2k-9)x-(8-k)k+10

2k-9=1     -(8-k)k+10=a

2k=10      -(8-5)×5+10=a

k=5           -15+10=a,     a=-5