NCERT/Bihar Board Class-10 Quadratic Equation Solution Exercise-4.3

                        प्रश्नावली-4.3

1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए कि:

(i)2×2-7x+3=0

Answer:—-

2×2-7x+3=0

ax2+bx+c=0

a=2    b=-7    c=3

b2-4ac=(-7)2-4×2×3=49-24=25

2×2-7x+3=0      ———–×2

4×2-14x+6=0

(2x)2-2×2x×  7   + (  7  )2 – (  7  )2+6=0

                      2          2             2

(2x-   7  )2-  49  +6=0

          2         4

(2x-   7  )2=  25  

          2          4

(2x-   7  )=+-  5   

          2          2

2x-  7   =  5        2x-  7  =-  5   

        2       2               2       2

2x=  5   +   7       2x= -5   +   7  

        2        2                2        2 

2x=  12                2x=  7-5   

         2                            2

2x=6                 2x=1

x=3                     x=1/2

(ii) 2×2+x-4=0

Answer:—

2×2+x-4=0

ax2+bx+c=0 

a=2        b=1     c=-4

b2-4ac=(1)2-4×(-4)×2=1+32=33

2×2+x-4=0     ———– ÷2

x2+ 1 x-2=0

       2

(x)2+2×x× 1   + ( 1 )2-( 1  )2-2=0

                  4         4        4

(x+  1  )2=  1    +2

       4         16

(x +  1  )2=  1+32   =  33   

         4            16         16

x +  1  =+-√33

       4           4

x +   1  =√ 33      x +   1   =-√ 33  

        4        4                4           4

x=  √33-1         x=  -√33-1   

          4                        4

x=  -1+√33          x= -1-√33  

           4                         4

(iii) 4×2+4√3+3=0

Answer:—

4×2+4√3+3=0

ax2+bx+c=0

a=4     b=4√3     c=3

b2-4ac=(4√3)2-4×4×3=48-48=0

x= -b+-√D   = -4√3+-√0   =  -4√3  

          2a              2×4             8

=  -√3          √3   

       2            2

(iv) 2×2+x+4=0

Answer:—-

2×2+x+4=0

a=2   b=1    c=4

b2-4ac=(1)2-4×2×4=1-32=-31

2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघात सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए|

उपर्युक्त प्रश्न 1 में निम्नलिखित द्विघात समीकरण दिए गए हैं:

(i)2×2-7x+3=0

Answer:—-

2×2-7x+3=0

a=2    b=-7    c=3

b2-4ac=(-7)2-4×2×(3)=49-24=25

x= -b+-√D  = -(-7) +-√25  = 7+-5  

         2a                2×2            4

  12    =3           2    =   1    

   4                     4         2

(ii) 2×2+x-4=0

Answer:—

a=2     b=1     c=-4

b2-4ac=(1)2-4×2×(-4)=1+32=33

x= -b+-√D  = -1+-√33  

         2a              2×2

  -1+√33             -1-√33    

        4                      4

(iii) 4×2+4√3x+3=0

Answer:—-

4×2+4√3x+3=0

a=4     b=4√3      c=3

b2-4ac=(4√3)2-4×4×3=48-48=0

x=  -b+-√D  = -4√3  +-√0   

          2a               2×4

  -4√3   = -√3       √3   

    8            2          2

(iv) 2×2+x+40

Answer:—-

2×2+x+4=0

a=2    b=1    c=4

b2-4ac=(1)2-4×2×4=1-32=-31

3. निम्नलिखित समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) x –   1   =3 ,    x=/0

             x

Answer:—

x –   1   =3

       x

   x2-1  =3

      x

x2-1=3x

x2-3x-1=0

a=1     b=-3     c=-1

b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13

x=  -b+-√D   = -(-3) +-√13   

          2a                 2×1

  3+√13            3-√13   

      2                     2

(ii)      1      –      1      =  11   , x=/-4,7

         x+4          x-7        30

Answer:—-

    1      –       1      =  11    

  x+4           x-7        30

     x-7-x-4      =  11  

   (x+4)(x-7)       30

        -11          =  11   

    x2-3x-28         30

         -1            =    1   

     x2-3x-28          30

x2-3x-28=30

x2-3x+2=0

a=1      b=-3     c=2

b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1

x=  -b+-√D   =  -(-3) +-√1   

           2a               2×1

  3+1   =  4   =2        3-1  =  2   =1

    2          2                 2        2

4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है| उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

माना कि रहमान की आयु x

3 वर्ष पूर्व उसकी आयु x-3 का व्युत्क्रम  1   

                                                     x-3

5 वर्ष पश्चात् उसकी आयु x+5 का व्युत्क्रम  1   

                                                          x+5

   1     +    1    =  1  

  x-3        x+5     3

     x+5+x-3       =   1   

    (x-3)(x+5)          3

x2+2x-15=6x+6

x2+2x-15-6x-6=0

x2-4x-21=0

a=1      b=-4      c=-21

b2-4ac=(-4)2-4×1×(-21=16+84=100

x= -b+-√D   = -(-4) +-√100  = 4+-10  

         2a                  2×1              2

  4+10    =  14   =7      4-10  =  -6  =-3

      2             2                 2         2

5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली की गणित और अंग्रेज़ी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है| यदि उसको गणित में 2 अधिक और अंग्रेज़ी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता| उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए|

उत्तर:–

शेफाली को गणित में x अंक प्राप्त किए

उसके द्वारा अंग्रेज़ी में प्राप्त अंक 30-x

(x+2)(30-x-3)=210

(x+2)(27-x)=210

27x-x2+54-2x=210

x2-25x+156=0

a=1       b=-25     c=156

b2-4ac=(-25)2-4×1×156=625-624=1

x= -b+-√D  = -(-25) +-√1 = 25+-1 

          2a                 2×1              2

  25+1 =  26   =13       25-1  =  24  =12

      2         2                     2          2

6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है| बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

उत्तर::—-

माना कि आयताकार खेत की छोटी भुजा x

बड़ी भुजा x+30    विकर्ण  x+60

x2+(x+30)2=(x+60)2

x2+x2+60x+900=x2+120x+3600

x2-60x-2700=0

x2-90x+30x-2700=0

x(x-90)+30(x-90)=0

(x-90)(x+30)=0

x-90=0                      x+30=0

x=90                          x=-30

x+30=30+60=90

x+90=30+90=120

7. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है| छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है| दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए|

Answer:—-

माना कि बड़ी संख्या x छोटी संख्या आठ गुणा=8x

x2-8x=180

x2-8x-180=0

x2-18x+10x-180=0

x(x-18)+10(x-18)=0

(x-18)(x+10)=0

x-18=0           x+10=0

x=18               x=-10

छोटी संख्या का आठ गुणा=18×8=144

छोटी संख्या का आठ गुणा का वर्ग मूल

=√144=+-12

(18, 12) (18, -12) 

8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है| यदि यह चाल 5km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती| रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—-

माना कि रेलगाड़ी की चाल x

360km दूरी तय करने में लगा समय   360  

                                                       x

रेलगाड़ी की चाल में 5km/h वृद्धि करने पर,360

                                                            x+5

  360    –    360   =1

    x             x+5

  360(x+5) -x×360   =1

             x(x+5) 

360(x+5)-360x=x(x+5)

360x+1800-360x=x2+5x

x2+5x-1800=0

x2+45x-40x-1800=0

x(x+45)-40(x+45)=0

(x+45)(x-40)=0

x-40=0          x+45=0

x=40              x=-45

9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 75/8 घंटों में भर सकते हैं| बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है| प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

माना कि कम व्यास वाले नल द्वारा अकेले (अलग से) हौज को भरने में लिया गया समय=x

बड़े व्यास वाले नल द्वारा अकेले (अलग से) उसी हौज को भरने में लिया गया समय=x-10

दोनों नल एक साथ उस हौज को भरने में लगा 

समय=75/8

दोनों नलों द्वारा एकसाथ 1 घंटा में भरे जानेवाले हौज का भाग=8/75

1 घंटा में कम व्यास वाले नल द्वारा उस हौज को भरे जाने वाले भाग=1/x

बड़े व्यास वाले नल द्वारा उस हौज को 1 घंटा में भरे जाने वाला भाग=     1      

                          x-10

   1     +     1      =   8    

   x           x-10      75

     (x-10)+x       =    8    

       x(x-10)            75

(2x-10)×75=8×{(x(x-10)}

150x-750=8×2-80x

8×2-230x+750=0

4×2-115x+375=0

4×2-100x-15x+375=0

4x(x-25)-15(x-25)=0

(x-25)(4x-15)=0

x-25=0                      4x-15=0

x=25                           4x=15

x-10=25-10=              x=15/4

10. मैसूर और बैंगलौर के बीच के 132km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेगी (मध्य प्रदेश के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए|

उत्तर:—

माना कि सवारी गाड़ी की औसत चाल=x

एक्सप्रेस गाड़ी की चाल x+11

132km दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय   132   

            x

उसी यात्रा में एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा लिया गया 

समय        132       

               x+11

   132     –    132    =1

      x           x+11

   132(x+11-x)     =1

        x(x+11) 

    (x+11-x)     =   1    

     x(x+11)        132

x2+11x=11×132

x2+11x-1452=0

x2+44x-33x-1452=0

x(x+44)-33(x+44)=0

(x+44)(x-33)=0

x-33=0          x+44=0

x=33              x=-44

x+11=33+11=44

11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468m2 है| यदि उनके परिणामों का अंतर 24m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

Answer:—

माना कि एक वर्ग की भुजा x

क्षेत्रफल=x2

दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल 468-x2

पहले वर्ग का परिमाप 4x

दूसरे वर्ग का परिमाप  4x-24

दूसरे वर्ग की भुजा     4x-24   =x-6

                                4

दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल   (x-6)2

(x-6)2=468-x2

x2-12x+36=468-x2

2×2-12x-432=0

x2-6x-216=0

x2-18x+12x-216=0

x(x-18)+12(x-18)=0

(x-18)(x+12)=0

x-18=0                  x+12=0

x=18                      x=-12

x-6=18-6=12