प्रश्नावली-15.1
1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए|
(i)घटना E की प्रायिकता+ घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता=…… है|
(ii)उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती….. है| ऐसी घटना…… कहलाती है|
(iii)उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है…… है| ऐसी घटना….. कहलाती है|
(iv)किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग……. है|
(v)किसी घटना की प्रायिकता…… से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा….. से छोटी या उसके बराबर होती है|
उत्तर:—-
(i)1, (ii)0, असंभव घटना (iii) 1, अवश्य या निश्चित या निर्धारित घटना (iv)1 (v)0, 1
2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक है? स्पष्ट कीजिए|
(i)एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है| कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है|
(ii)एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है| वह बास्केट में बाल डाल जाती है या नहीं डाल पाती है|
(iii)एक सत्य असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है| उत्तर सही है या गलत होगा|
(iv)एक बच्चे का जन्म होता है| वह एक लड़का है या एक लड़की है|
उत्तर:—-
(i)एक प्रयोग जिसमें ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है| कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है| इस प्रयोग में कार का चलना या न चलना समान नहीं हो सकता| यथा वह कार को, माना 5 बार चलाने का प्रयास करता है जिसमें 3 बार सफल या असफल होता है| अत: निष्कर्ष असम प्रायिकता है| अर्थात ड्राइवर द्वारा कार को चलाने का प्रयत्न समप्रायिक नहीं है|
(ii)एक प्रयोग जिसमें एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है| वह बास्केट में डाल पाती है या नहीं डाल पाती है| स्पष्टतः प्रत्येक प्रयत्न में वह बास्केट में डाल सकती है और नहीं भी डाल सकती है| या प्रत्येक प्रयास में वह बाल बास्केट में डालने में सफल होती है| स्पष्टतः बाल को बास्केट में डाल पाना बराबर नहीं बाल को बास्केट में नहीं डाल पाना है| अत: बाल को बास्केट में डाल पाना या नहीं डाल पाना समप्रायिक नहीं है|
(iii)एक प्रयोग जिसमें एक सत्य असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है| उत्तर सही है या गलत होगा| ऐसा करने में, हम प्रागुक्ति/भविष्य वाणी कर सकते हैं कि उत्तर सत्य या असत्य में से कोई एक तो होगा ही| अत: हम तर्कसंगत रूप में मान सकते हैं कि प्रत्येक परिणाम सत्य या असत्य का होना उतनी ही बार हो सकता है जितना कि अन्य परिणाम| अत: परिणाम सत्य या असत्य समप्रायिक है|
(iv)एक प्रयोग जिसमें एक बच्चे का जन्म होता है| वह लड़का है या लड़की है| हम यहाँ प्रागुक्ति/भविष्यवाणी कर सकते हैं कि जन्म लेने वाला बच्चा एक लड़की होगी या फिर एक लड़का होगा| अत: दोनों ही स्थितियों में प्रागुक्ति समान रूप से बराबर होगी| फलतः हम कह सकते कि प्रत्येक परिणाम एक लड़का होगा या एक लड़की की सम संभाव्य है| अत: परिणाम समप्रायिक है|
3. फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बाल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
उत्तर:—
जब हम एक सिक्का उछालते है तो यह कल्पना करते हैं कि सिक्का न्यायसंगत अर्थात सममिति है| अत: जब यह निश्चित करने के लिए कौन सी टीम पहले बाल लेगी तो किसी भी टीम का कप्तान भविष्यवाणी नहीं कर सकता है कि चित उसके पक्ष में ही होगा| अत: जब हम एक सिक्का डालते हैं तो चित और पट आने का परिणाम सम संभावी है| इसिलिए किसी सिक्के के उछाल का परिणाम पूर्णतया प्रागुक्ति नहीं है| अत: सिक्के को उछाल कर किसी निर्णय पर पहुँचना न्याय संगत माना जाता है|
4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A)2/3 (B)-1.5 (C)15℅ (D)0.7
उत्तर:–
B(-1.5) क्योंकि यह ऋणात्मक संख्या है
5. यदि P(E)=0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है?
उत्तर:–
P(E) + P(E नहीं)=1
0.05 + E नहीं=1
E नहीं=1-0.05=0.95
6. एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ है| मालिनी थैले में बिना झांके उसमें से एक गोली निकालती है| इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली:
(i)संतरे की महक वाली है?
(ii)नींबू की महक वाली है?
उत्तर:—
(i)संतरे की महक वाली गोली नहीं होने के कारण से प्रायिकता 0 है|
(ii)नींबू की महक वाली गोली होने के कारण से प्रायिकता 1 है|
7. यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है| इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्म दिन एक ही दिन हो?
उत्तर:—
P(E) + P(E नहीं)=1
0.992+ P(E)=1
P(E)=1-0.992=0.008
8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंद है| इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है| इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
उत्तर:—
लाल गेंद=3
काली गेंद=5
कुल गेंद=3+5=8
(i)लाल गेंद होने की प्रायिकता=3/8
(ii)काली गेंद होने की प्रायिकता=5/8
9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे है| इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाली जाती है| इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई कंचा(i)लाल है? (ii)सफेद है?(iii)हरा नहीं है?
उत्तर:—
लाल कंचे=5
सफेद कंचे=8
हरे कंचे=4
कुल कंचे=5+8+4=17
(i)लाल कंचे होने की प्रायिकता=5/17
(ii)सफेद कंचे होने की प्रायिकता=8/17
(iii)हरे कंचे होने की प्रायिकता=4/17
10. एक पिग्मी बैंक में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, 1 रु के पचास सिक्के हैं, 2 रू के बीस सिक्के और 5 रू के दस सिक्के हैं| यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i)50 पैसे का होगा? (ii)5 रू का नहीं होगा?
उत्तर:—
50 पैसे के सिक्के=100
1 रु के सिक्के=50
2 रु के सिक्के=20
5 रु के सिक्के=10
कुल सिक्के=100+50+20+10=180
(i)50 पैसे के सिक्के होने की
प्रायिकता=100/180=5/9
(ii)5 रु के सिक्के नही होने की
प्रायिकता=170/180=17/18
11. गोपी अपने जल जीव कुंड के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है| दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है| इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?
उत्तर:—
नर मछली=5
मादा मछली=8
कुल मछली=8+5=13
नर मछली होने की प्रायिकता=5/13
12. संयोग के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है| यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i)8 को करेगा?
(ii)एक विषम संख्या को करेगा?
(iii)2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv)9 से छोटी संख्या को करेगा?
उत्तर:—
संख्या=1,2,3,4,5,6,7 और 8
कुल संख्या=8
(i)8 को तीर इंगित करने की प्रायिकता=1/8
(ii)एक विषम संख्या=1, 3,5,7=4
एक विषम संख्या को तीर इंगित करने की
प्रायिकता=4/8=1/2
(iii)2 से बड़ी संख्या=3, 4,5,6,7,8=6
2 से बड़ी संख्या को तीर इंगित करने की
प्रायिकता=6/8=3/4
(iv)9 से छोटी संख्या=1,2,3,4,5,6,7, 8=8
9 से छोटी संख्या को तीर इंगित करने की
प्रायिकता=8/8=1
13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है| निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|
(i)एक अभाज्य संख्या
(ii)2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii)एक विषम संख्या
उत्तर:—-
एक पासा=1,2,3,4,5,6
कुल संख्या=6
(i)एक अभाज्य संख्या= 2,3,5=3
एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता=3/6=1/2
(ii)2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या=3,4,5=3
प्रायिकता=3/6=1/2
(iii)एक विषम संख्या=1, 3,5=3
एक विषम संख्या होने की प्रायिकता=3/6=1/2
14. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है| निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|
(i)लाल रंग का बादशाह
(ii)एक फेस कार्ड अर्थात तस्वीर वाला पत्ता
(iii)लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv)पान का गुलाम
(v)हुकुम का पत्ता
(vi)एक ईंट की बेगम
उत्तर:—-
कुल पत्ता=52
(i)लाल रंग का बादशाह=2
प्रायिकता=2/52=1/26
(Ii)एक फेस कार्ड या तस्वीर वाला पत्ता=3×4=12
प्रायिकता=12/52=3/13
(Iii)लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता=3×2=6
प्रायिकता=6/52=3/26
(Iv)पान का गुलाम=1
प्रायिकता=1/52
(V)हुकुम का पत्ता=13
(हुकुम मतलब पूरा एक कलर जैसे पान के पत्ता 13 होते हैं कुल)
प्रायिकता=13/52=1/4
(Vi)एक ईंट की बेगम=1
प्रायिकता=1/52
15. ताश के पांच पत्तों– ईंटों का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है| फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है|
(i)इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता
एक बेगम है?
(ii)यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है| इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता एक इक्का है? एक बेगम है?
उत्तर:—
कुल पत्ता=5
(i)एक बेगम होने की प्रायिकता=1/5
(ii)एक इक्का होने की प्रायिकता=1/4
एक बेगम होने की प्रायिकता=0
16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गये हैं|केवल यह देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है| इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है| निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
कुल परिणाम=12+132=144
पेन अच्छे होने की प्रायिकता=132/144=11/12
17. (i)20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब है| इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है| इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब
होगा?
(ii)मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही उसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है| अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है| इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
उत्तर:—
खराब बल्ब=4
अच्छा बल्ब=6
कुल बल्ब=20
(i)बल्ब खराब होने की प्रायिकता=4/20=1/5
(ii)बल्ब खराब नहीं होने की प्रायिकता=15/19
18. एक पेटी में 90 डिस्क है, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित है| यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी:(i)दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii)5 से विभाज्य एक संख्या
उत्तर:—-
(i)दो अंकों की एक संख्या= 10 से 90=81
प्रायिकता=81/90=9/10
(ii)क पूर्ण वर्ग संख्या
=1, 4,9,16,25,36,49,64,81=9
प्रायिकता=9/90=1/10
(iii)5 से विभाज्य एक संख्या=5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90=18
प्रायिकता=18/90=1/5
19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है:
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है| इसकी क्या प्रायिकता है कि(i)A प्राप्त हो?(ii)Bप्राप्त हो?
उत्तर:—-
कुल संख्या=6
(i)प्राप्त होने की प्रायिकता=2/6=1/3
(ii)प्राप्त होने की प्रायिकता=1/6
20. मान लीजिए आप एक पासे को पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 340 पर की आकृति 15.6 में दर्शाज आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते है| इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 मी व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?
उत्तर:—
आयत की लंबाई= 3 मी चौड़ाई=2 मी
आयत का क्षेत्रफल=3×2=6 मी2 —-(1)
वृत्त का व्यास=1 मी, त्रिज्या=1/2 मी= त्रिज्या
वृत्त का क्षेत्रफल
=π× त्रिज्या× त्रिज्या=π× 1 × 1 = π
2 2 4
चूंकि वृत्त आयत के भीतर स्थित है| इसिलिए घटना पासा वृत्त के अंदर गिरना है जिसका क्षेत्रफल=
π साथ ही सभी संभव परिणामों की संख्या=6
4
प्रायिकता= π = π
4 24
6
21. 144 बाल पेन के एक समूह में 20 बाल पेन खराब है और शेष अच्छे है| आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे| दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है| इसकी क्या प्रायिकता है कि:
(i)आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii)प वह पेन नहीं खरीदेंगे?
उत्तर:—-
कुल संख्या=144
अच्छा पेन=144-20=124
खराब पेन=20
(i)अच्छा पेन की प्रायिकता=124/144=31/36
(ii)खराब पेन की प्रायिकता=20/144=5/36
22. पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 336 के उदाहरण 13 को देखिए|
(i)निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए
(पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 336 की सारणी देखें)
(ii)एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘ यहाँ कुल 11
परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है| अत: प्रत्येक की प्रायिकता 1/11 है| क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिये|
उत्तर:—
कुल संख्या=6×6=36
परिणामों की संख्या=2
संख्याओं का योग=2+1=3
संख्या=(1, 2), (2, 1)=2
प्रायिकता=2/36
परिणामों की संख्या=3
संख्याओं का योग=4
संख्या=(1, 3), (2, 2), (3, 1) =3
प्रायिकता=3/36
परिणामों की संख्या=4
संख्याओं का योग=5
संख्या=(1, 4), (2, 3), (3, 2) (4, 1) =4
प्रायिकता=4/36
परिणामों की संख्या=5
संख्याओं का योग=6
संख्या=(1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2) (5, 1)=5
प्रायिकता=5/36
परिणामों की संख्या=6
संख्याओं का योग=7
संख्या=(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)
प्रायिकता=6/36
परिणामों की संख्या=5
संख्याओं का योग=8
संख्या=(2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2)
प्रायिकता=5/36
परिणामों की संख्या=4
संख्याओं का योग=9
संख्या=(3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3)
प्रायिकता=4/36
परिणामों की संख्या=3
संख्याओं का योग=10
संख्या=(4, 6) (5, 5) (6, 4)
प्रायिकता=3/36
परिणामों की संख्या=2
संख्याओं का योग=11
संख्या=(5, 6) (6, 5)
प्रायिकता=2/36
परिणामों की संख्या=1
संख्याओं का योग=12
संख्या=(6, 6)
प्रायिकता=1/36
घटना दोनों की
संख्याओं का योग प्रायिकता
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
11 2/36
12 1/36
(ii) नहीं हम उस विद्यार्थी से सहमत नहीं है क्योंकि 11 परिणाम सम संभावी नहीं है|
23. एक खेल में एक रूपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है| तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात तीन चित्त या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा| हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए|
उत्तर:—
घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या=
(HHT) (HTH) (THH)
(TTH) (THT) (TTT)=6
कुल संभव परिणाम संख्या=
(HHH) (HHT) (HTH) (THH) (TTH) (HTT) (THT) (TTT)=8
प्रायिकता=6/8=3/4
24. एक पासे को दो बार फेंका जाता है| इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i)किसी बार भी नहीं आएगा?
(ii)कम से कम एक बार आएगा?
उत्तर:—
कुल संख्या=6×6=36
(i)परिणाम संख्या=36-11=25
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (6, 5)
प्रायिकता=25/36
(ii)परिणाम संख्या=11
प्रायिकता=11/36
25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है? सकारण उत्तर दीजिये|
(i)यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम दो चित्त, दो पट या प्रत्येक एक बार है| अत: इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/3 है|
(ii)यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है| अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है|
उत्तर:—
कुल संख्या=4
(H, H) (HT) (TH) (TT)
(i)परिणाम संख्या=1 (H,H)
प्रायिकता=1/4
(ii)सत्य है| हम जानते हैं कि एक पासे के प्रत्येक फलक पर 1,2,3,4,5,6 में से एक अंकित होता है| इन 6 अंकों की में से तीन विषम 1,3,5 और तीन सम 2,4,6 तो परिणाम बराबर होगा|
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