प्रश्नावली-13.4
1. पानी पीने वाला एक गिलास 14 सेमी ऊंचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है| दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 सेमी और 2 सेमी है| इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
r1=4/2=2cm r2=2/2=1cm h=14cm
गिलास की धारिता
= 1 πh{(r1)2+(r2)2+r1r2}
3
= 1 × 22 ×14{(2)2+(1)2+2×1}
3 7
= 44 (4+1+2)= 44×7 = 308
3 3
2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियां) 18 सेमी और 6 सेमी है| इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
l=4cm
2πr1=18 2πr2=6
πr1=9 πr2=3
छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=πl(r1+r2)=l(πr1+πr2)=4(9+3)
=4×12=48cm2
3. एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकार की है (देखिए आकृति 13.24)| यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 सेमी है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 सेमी है और टोपी की तिर्यक ऊंचाई 15 सेमी है, तो इसको बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
r1=10cm r2=4cm l=15cm
इस टोपी को बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल= वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+ वृत्त का क्षेत्रफल
=πl(r1+r2)+π(r2)2
=π{l(r1+r2}+(r2)2}
= 22 {15×(10+4)+4×4}
7
= 22 (15×14+16)
7
= 22 ×226= 4972
7 7
4. धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊंचाई 16 सेमी है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएं क्रमशः 8 सेमी और 20 सेमी है| 20 रू प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए| साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रू प्रति 100 सेमी2 की दर से ज्ञात करें|(π=3.14 लें)
उत्तर:—
r1=20 r2=8 h=16
छिन्नक का आयतन=
1 πh{(r1)2+(r2)2+r1r2}
3
1 ×3.14×16{(20)2+(8)2+20×8}
3
1 ×3.14×16(400+64+160)
3
3.14×16×624 =3.14×16×208cm3
3
3.14×16×208 litre= 10449.92 litre
1000 100
चूंकि 1 लीटर दूध का मूल्य 20 रूपये
10449.92 लीटर दूध का मूल्य
1000
=20× 10449.92
1000
= 10449.92 =208.99=209 रू
50
इस छिन्नक को बनाने में प्रयुक्त चादर का क्षेत्रफल के लिए:—
l=√h2+(r1-r2)2=√(16)2+(20-8)2
=√256+144=√400=20cm
इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का क्षेत्रफल= शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+ वृत्त का क्षेत्रफल
=π(r1+r2)×l+π(r2)2
=3.14(20+8)×20+3.14×(8×8)
=3.14×28×20+3.14×64
=1758.4+200.96=1959.36cm2
8 रू 100 सेमी 2 की दर से प्रयुक्त धातु के चादर का मूल्य= 1959.36×8 =156.75 रू
100
5. 20 सेमी ऊंचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊंचाई के बीचोबीच से होकर जानते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समांतर है| यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास 1/16 सेमी वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए|
उत्तर:—
माना कि AOB एक शंकु है जिसका शीर्ष <AOB=60° है तथा इसकी उर्ध्वाधर ऊंचाई 20cm है| इसको ऊंचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए आधार के समांतर एक तल FCD से दो भागों में काटा गया है| इस प्रकार, हमें एक शंकु का छिन्नक ABDF प्राप्त होता है जिसकी ऊंचाई CE=20/2=10CM है|
संलग्न आकृति में प्राप्त है
<COD=30°, OC=10CM, OE=20CM
CD=r EB=R
समकोण ∆OCD,
CD =tan30°
OE
CD = 1
10 √3
COD= 10 r=10/√3
√3
समकोण ∆OEB,
EB =tan30
OE
EB = 1
20 √3
EB=20/√3 R=20/√3
CE=20/2=10cm
इस शंकु के छिन्नक ABDF में
ऊंचाई h=CE=10cm
r=CD=10/√3cm
निचली त्रिज्या R=EB=20/√3cm
इस छिन्नक का आयतन
1 πh{R2+r2+Rr)
3
1 π×10(( 20 )2+( 10 )2+ 20×10 )
3 √3 √3 √3×√3
= π×10 ( 400 + 100 + 200 )
3 3 3 3
π×10 × 700 = 7000π
3 3 9
माना कि तार की लंबाई x
तार का व्यास 1/16 त्रिज्या 1/32
तार का आयतन=πr2h
(क्योंकि तार बेलनाकार)
=π×( 1 )2×x= πx
32 32×32
शंकु के छिन्नक को ही तार में बदला गया है|
7000π = πx
9 32×32
x= 7000×32×32 = 70×32×32
9×100 9
= 71680 =7964.44
9
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